Trước năm 1576, người ta có thể bắt gặp một ông già ăn mặc kỳ lạ đi lang thang với dáng điệu lạ lùng, không quy tắc dọc ngang các đường phố của Rome, không nói với bất kỳ ai và cũng không ai nói chuyện với ông ta. Ông già từng nổi tiếng khắp châu Âu, là một nhà chiêm tinh học, bác sỹ nổi tiếng cho các gia đình quý tộc, trưởng khoa dược tại Đại học Pavia. Ông đã có những sáng chế tồn tại lâu dài, bao gồm chiếc khóa số đầu tiên và trục nối nhiều chiều vẫn còn được sử dụng trong ô tô ngày nay. Ông đã xuất bản 131 cuốn sách với nhiều chủ đề khác nhau trong lĩnh vực triết học, y tế, toán học và khoa học. Tuy nhiên, năm 1576, ông là ông già của quá khứ, không có tương lai, sống trong sự nghèo đói và tối tăm. Vào cuối mùa hè năm đó, ông ngồi viết những dòng cuối cùng, một bài thơ cho con trai yêu quý đã bị xử tử 16 năm trước, ở tuổi 26. Ông già chết vào ngày 20 tháng 9, vài ngày trước sinh nhật lần thứ 75. Ông đã sống lâu hơn 2 trong số 3 người con của mình, khi ông chết người con trai còn sống đang làm đao phủ chuyên nghiệp cho Tòa án dị giáo. Công việc béo bở đó là phần thưởng cho việc hắn đã đưa ra bằng chứng chống lại cha mình.

Trước khi chết, Gerolamo Cardano đốt 170 bản thảo chưa công bố. Trong gia tài của ông còn lại 111 bản thảo. Một bản được viết vài thập kỷ trước đó, đã được sửa chữa lại, là một chuyên luận gồm 32 chương ngắn. Với tựa The Book on Games of Chance (Cuốn sách về các trò chơi tình cờ) đó là cuốn sách đầu tiên viết về lý thuyết ngẫu nhiên. Người ta đã đánh bạc và gặp nhiều sự may rủi trong hàng ngàn năm. Liệu tôi có thể băng qua sa mạc trước khi chết khát? Ở dưới vách đá khi động đất có nguy hiểm không? Nụ cười toét miệng của cô gái thượng cổ thích vẽ những con bò lên đá nghĩa là cô ấy thích tôi? Tuy nhiên, trước Cardano, chưa ai từng hoàn thành một quá trình phân tích chặt chẽ về cơ chế của các trò chơi và hoạt động may rủi khác. Cardano đã phân tích sâu cách thức, cơ hội vận hành thành một nguyên tắc gọi là định luật về không gian mẫu. Định luật về không gian mẫu thể hiện một tư tưởng mới và một phương pháp mới và đã tạo nên những mô tả cơ bản của toán học về sự không chắc chắn trong các thế kỷ về sau. Đây là một phương pháp đơn giản, một mô phỏng quy luật ngẫu nhiên tương tự như ý tưởng cân bằng chi tiêu. Tuy nhiên, với phương pháp đơn giản này, chúng ta có khả năng tiếp cận rất nhiều vấn đề một cách có hệ thống mà nếu như không có chúng thì việc chứng minh hầu như là vô vọng. Để minh họa cho cả cách sử dụng và công dụng của định luật, chúng ta sẽ nghiên cứu một vấn đề mặc dù dễ mô tả và không đòi hỏi tính toán nâng cao, nhưng đã thách thức nhiều người hơn bất cứ trường hợp nào khác trong lịch sử của tính ngẫu nhiên.

LÀ MỘT MỤC BÁO, mục “Hãy hỏi Marilyn” của tạp chí Parade được coi là thành công xuất sắc. Xuất hiện trong 350 số và tự hào về tổng số phát hành gần 36 triệu bản, mục hỏi và đáp này có từ năm 1986 và hiện vẫn phát triển mạnh. Các câu hỏi cũng như câu trả lời đều rất rõ ràng như trong một điều tra (phi khoa học) của Gallup Poll về suy nghĩ của người Mỹ. Ví dụ:

Khi thị trường chứng khoán đóng cửa vào cuối ngày, tại sao mọi người lại đứng thành vòng tròn mỉm cười và vỗ tay mà không quan tâm đến chứng khoán tăng hay giảm?

Một người bạn mang song thai mà cô ấy biết là sinh đôi anh em. Xác suất có ít nhất một đứa bé là con gái là bao nhiêu?

Khi bạn lái qua xác một con chồn hôi trên đường, tại sao phải mất 10 giây sau bạn mới ngửi thấy mùi? Cứ cho rằng, bạn không thực sự lái xe vượt qua con chồn đó.

Rõ ràng người Mỹ rất thực tế. Điều đáng lưu ý là mỗi câu hỏi đều có phần liên quan đến toán học hoặc một khoa học nào đó, đó là đặc điểm của rất nhiều câu hỏi trong mục này.

Một người có thể hỏi, đặc biệt nếu người đó biết chút ít về toán học và khoa học, “Ai sẽ là quán quân ‘Marilyn’ này?” Chà, Marilyn là Marilyn vos Savant, nổi tiếng vì có tên trong danh sách kỷ niệm hàng năm của kỷ lục Guiness với tư cách người có chỉ số IQ cao nhất thế giới (228). Bà cũng nổi tiếng do cưới Robert Jarvik, người sáng chế ra tim nhân tạo Jarvik. Nhưng đôi khi một số người nổi tiếng cũng được nhớ đến không phải vì ‘danh tiếng’ mà là ‘tai tiếng’ (“Tôi chưa bao giờ quan hệ với người đàn bà đó”). Điều đó đúng đối với Marilyn. Bà nổi tiếng nhất vì trả lời câu hỏi dưới đây, trong mục in vào một ngày Chủ nhật trong tháng 9 năm 1990 (tôi đã sửa câu chữ một chút):

Giả sử trong một chương trình trò chơi các đấu thủ phải đưa ra lựa chọn một trong ba cánh cửa. Sau một cửa là một chiếc ôtô, còn sau những cánh cửa khác là những con dê. Sau khi một đấu thủ chọn một cửa, người dẫn chương trình – tất nhiên anh ta biết rõ cái gì ở sau mỗi cánh cửa – mở một trong các cửa chưa được chọn, và lộ ra một con dê. Sau đó anh ta nói với người chơi, “Bạn có muốn đổi lấy cánh cửa chưa mở còn lại?” Đổi cửa liệu có lợi cho người chơi hay không?

Câu hỏi lấy ý tưởng từ các chương trình trò chơi trên truyền hình Let’s Make a Deal (Hãy cùng thương lượng), bắt đầu phát sóng từ năm 1963 đến năm 1976 và một số phiên bản từ năm 1980 đến 1991. Sức cuốn hút chính của chương trình là người dẫn điển trai, dễ thương Monty Hall và người trợ lý ăn mặc gợi cảm Carol Merrill, hoa hậu hạt Azusa (California) năm 1957.

Những người xây dựng chương trình thật sự ngạc nhiên vì sau 4.500 buổi chiếu trong 27 năm, câu hỏi về xác suất toán học đó lại trở thành tài sản chính của họ. Câu hỏi này đã làm cho tên tuổi của Marilyn và Let’ Make a Deal sống mãi vì sự phản ứng dữ dội của người đọc sau khi xem mục báo của Marilyn vos Savant. Câu hỏi cuối cùng khá ngớ ngẩn. Hai cánh cửa để lựa chọn – mở một cửa và bạn thắng; mở cửa khác và bạn thua, cơ hội thắng của bạn là 50/50. Còn gì đơn giản hơn? Marilyn đã trả lời trên báo rằng tốt nhất là nên đổi.

Mặc dù công chúng thờ ơ khi hóa ra đó là vấn đề của toán học, nhưng các độc giả của Marilyn phản ứng như thể bà ủng hộ việc trả lại California cho bang Mexico. Việc từ chối làm rõ vấn đề đã khiến bà bị bom thư, khoảng 10.000 lá thư như bà ước tính. Nếu bạn hỏi người Mỹ liệu họ có đồng ý rằng thực vật giải phóng ôxy vào không khí, tốc độ ánh sáng nhanh hơn âm thanh, hay bạn không thể làm sữa phóng xạ an toàn khi đun sôi, thì bạn sẽ nhận được sự phản đối trong mỗi trường hợp lần lượt là 13%, 24% và 35%. Nhưng trong vấn đề này, người Mỹ rất thống nhất: 92% đồng ý rằng Marilyn sai.

Rất nhiều người cảm thấy thất vọng. Làm sao người mà họ tin tưởng trong từng ấy các vấn đề rộng lớn có thể bị bối rối bởi một câu hỏi đơn giản như vậy? Phải chăng sai lầm của bà tượng trưng cho sự ngu dốt tệ hại của người Mỹ? Gần 1.000 tiến sỹ, trong đó có nhiều người là giáo sư toán học, đã thể hiện sự giận dữ trong mục báo: “Cô thổi bay tất cả”, một nhà toán học thuộc Đại học George Mason viết:

Hãy để tôi giải thích: Nếu một cửa đã được mở là không đúng, thì thông tin đó thay đổi xác xuất của khả năng còn lại – cả hai cửa đều không có gợi ý chắc chắn nào cả – là 1/2. Là một nhà toán học, tôi rất lo lắng về sự thiếu kỹ năng toán học của cộng đồng. Làm ơn hãy thừa nhận lỗi sai của mình và trong tương lai, hãy cẩn thận hơn. 

Từ trường Đại học bang Dickinson, ta có phản hồi: “Tôi bị sốc vì sau khi ba thầy giáo đính chính lại mà cô vẫn không nhìn ra lỗi sai của mình.” Từ Đại học Georgetown: “Cần bao nhiêu nhà toán học giận dữ mới có thể thay đổi suy nghĩ của cô?” Và ai đó từ Viện Nghiên cứu Quân đội Mỹ lưu ý: “Nếu tất cả các tiến sỹ này đều sai thì đất nước đang lâm nguy.” Các phản ứng tiếp tục gia tăng theo số lượng lớn và trong một thời gian dài và mất phần lớn của mục báo để bàn luận về vấn đề này, Marilyn quyết định cô sẽ không đề cập đến nó nữa.

Ông tiến sỹ quân đội đã viết thư có thể đúng khi nói nếu tất cả các tiến sỹ đó đều sai thì đó là dấu hiệu đáng lo ngại. Khi nói về điều này, Paul Erdös, một trong những nhà toán học hàng đầu trong thế kỷ XX, nói: “Đó là điều không thể.” Sau đó, khi được giới thiệu một bằng chứng toán học chính thống của câu trả lời đúng, ông ta vẫn không tin và trở nên giận dữ. Chỉ sau khi một đồng nghiệp thực hiện một mô phỏng vi tính mà trong đó Erdös xem hàng trăm thí nghiệm trong 2 chọn 1 ủng hộ ý kiến chấp nhận đổi thì Erdös mới thừa nhận mình sai.

Làm thế nào một điều tưởng như rõ ràng đến vậy lại sai được? Theo một giáo sư tại Đại học Harvard, một chuyên gia về xác xuất và thống kê, “chỉ là thần kinh của chúng ta không được kết nối để giải quyết tốt các bài toán xác suất.” Nhà vật lý học nổi tiếng người Mỹ, Richard Feynman, từng bảo tôi đừng bao giờ nghĩ mình đã hiểu một công trình vật lý nếu tất cả những gì tôi làm là đọc những điều người khác đúc rút. Cách duy nhất để thực sự hiểu một lý thuyết, như anh ta nói, là phải tự mình làm lấy (cho dù cuối cùng lại bác bỏ nó!). Đối với những người không phải là Feynman, chứng minh lại công trình của người khác là cách tốt để thực sự nắm giữ và vận dụng được các kỹ năng toán như một quân cờ đam tại Home Depot. Nhưng bài toán Monty Hall là một trong những bài toán có thể giải mà không cần bất kỳ chuyên gia toán học nào. Bạn không cần các phép vi phân, hình học, lượng giác, hay thậm chí thuốc kích thích – cái mà Erdös đã muốn dùng. (Như đã chú thích, ngay sau khi bỏ cuộc khoảng một tháng, ông nhận xét, “Trước đây, khi nhìn vào một tờ giấy trắng, đầu óc tôi tràn đầy ý tưởng. Còn bây giờ tất cả những gì tôi nhìn thấy chỉ là một tờ giấy trắng.”) Tất cả những gì bạn cần là tri thức căn bản về xác suất và quy luật của không gian mẫu từ đó ta có thể phân tích các tình huống về cơ hội lần đầu tiên được viết thành văn bản trong thế kỷ XVI bởi Gerolamo Cardano.

Gerolamo Cardano không phải kẻ nổi dậy hòng thoát khỏi môi trường tri thức của thế kỷ XVI tại châu Âu. Đối với Cardano, tiếng chó tru là điềm báo cái chết của một người thân, và một vài con quạ kêu trên mái nhà nghĩa là sắp có bệnh trầm trọng. Cũng như bất kỳ ai, ông tin vào số mệnh, vào vận may, và đoán định tương lai theo sự sắp xếp của các hành tinh và ngôi sao. Tuy nhiên, nếu ông chơi bài poker, ông sẽ không bị phát hiện ra là đang rút được một “suốt” – một bộ 5 quân liên tiếp trong bài xì phé. Đối với Cardano, cờ bạc là bản tính thứ hai. Cảm xúc với cờ bạc là do năng khiếu chứ không phải do lý trí, và do vậy kiến thức về quan hệ toán học giữa các kết quả ngẫu nhiên của trò chơi vượt quá niềm tin do số phận chế ngự. Công trình của Cardano cũng vượt qua tính cứng nhắc của toán học ngày ấy, bởi vì Đại số và ngay cả Số học vào đầu thế kỷ XVI mới chỉ trong thời kỳ sơ khai, thậm chí người ta còn chưa biết đến dấu bằng.

Lịch sử có nhiều điều để nói về Cardano, dựa trên cuốn tự truyện và các tác phẩm đương thời viết về ông. Một số tác phẩm khá mâu thuẫn, nhưng có một điều chắc chắn: Sinh năm 1501, Gerolamo Cardano không phải là đứa trẻ hạnh phúc. Mẹ ông, Chiara, ghét trẻ con, mặc dù – hoặc có lẽ do – bà có 3 cậu con trai. Dáng người thấp bé, chắc nịch, bản tính nóng nảy và cẩu thả, khi mang thai Gerolamo bà ta đã uống thuốc bỏ thai của thế kỷ XVI gồm cây ngải tây lên men, hạt lúa mạch nướng và rễ cây thánh liễu. Bà ta uống thứ thuốc đó nhằm phá bào thai đang lớn dần, men ủ làm bà ta ốm yếu, nhưng cậu bé Gerolamo chưa ra đời thì không hề gì, thích ứng tuyệt đối với bất cứ thứ gì chuyển đổi theo đường máu của người mẹ. Các cố gắng khác của bà ta cũng đều thất bại.

Chiara và bố của Gerolamo, ông Fazio Cardano không cưới nhau, nhưng họ cư xử như thể họ đã là vợ chồng – họ nổi tiếng về nhiều trận cãi cọ to tiếng. Một tháng sau khi Gerolamo ra đời, Chiara bỏ nhà họ ở Milan để tới sống cùng cô em gái ở Pavia, cách đó 20 dặm về phía Nam. Gerolamo ra đời sau ba ngày mẹ ông đau đẻ. Ngay khi nhìn đứa bé, Chiara hẳn đã nghĩ rồi cuối cùng mình cũng sẽ từ bỏ nó. Đứa bé yếu đuối, xấu xí và nằm im. Bà đỡ của Chiara đoán đứa bé sẽ chết trong vòng một giờ. Nhưng nếu Chiara đang nghĩ đến sự giải thoát tốt đẹp, thì bà ta lại một lần nữa thất vọng, vì khi bà đỡ ngâm cậu bé vào chậu rượu ấm để rửa sạch các chất bẩn của thai nhi, Gerolamo hồi sinh. Tuy nhiên, thời gian khỏe khoắn của cậu bé chỉ diễn ra vài tháng. Sau đó, cậu bé, bà đỡ và ba anh em cùng cha khác mẹ đều mắc bệnh dịch. Bệnh dịch nổi tiếng với cái tên Cái chết đen (Black Death) thực ra là ba bệnh khác nhau: bệnh dịch hạch, bệnh viêm phổi và bệnh nhiễm trùng máu. Cardano mắc phải bệnh dịch hạch, căn bệnh thường gặp nhất với triệu chứng điển hình là các nốt bạch huyết sưng thành cục bằng quả trứng rất đau đớn. Một khi các cục hạch sưng xuất hiện thì người bệnh chỉ sống được khoảng một tuần.

Từ một cảng tại Messina phía Tây bắc Sicily năm 1347, hạm đội Genoese khi trở về từ phương Đông đã mang bệnh dịch Cái chết đen lần đầu vào ở châu Âu. Hạm đội đã nhanh chóng bị cách ly, và toàn bộ thủy thủ đã chết trên tàu – nhưng bọn chuột sống sót và chạy nhốn nháo vào bờ, mang theo cả vi khuẩn và bọ chét khiến  bệnh càng phát tán rộng hơn. Sự bùng phát dịch bệnh tiếp đó đã giết chết nửa thành phố trong vòng 2 tháng, và cuối cùng giết chết khoảng 25% đến 50% dân số châu Âu. Bệnh dịch liên tiếp xảy ra, khiến giảm sút dân số châu Âu giảm nặng nề trong nhiều thế kỷ. Năm 1501 là một năm tồi tệ vì bệnh dịch ở Italy. Bà đỡ và các anh của Gerolamo đều bị chết. Đứa bé may mắn sống sót mà không việc gì ngoại trừ gương mặt bị biến dạng: mặt ông đầy các mục cóc trên mũi, trán, cằm và má. Ông sống thọ đến gần 75 tuổi. Trên đường đời có nhiều tai ương, và trong những năm đầu đời, ông cũng đã gặp những trắc trở.

Bố của Gerolamo là một thợ máy. Là một người thân với Leanardo da Vinci, ông được đánh giá là một chuyên gia hình học, nhưng nghèo. Fazio thường gặp khó khăn trong việc trả tiền thuê nhà, do đó ông bắt đầu nghề tham vấn, đưa ra lời khuyên về luật và y tế cho tầng lớp quý tộc. Việc kinh doanh đó khá phát đạt, nhờ lời tuyên bố của Fazio rằng ông ta xuất thân là anh em với một người tên là Goffredo Castiglioni của Milan, được biết đến như là Giáo hoàng Celestine IV. Khi Gerolamo được 5 tuổi, bố cho cậu làm quen với môi trường kinh doanh – trên danh nghĩa. Tức là, cột chặt cái sọt vào lưng con trai, chất vào đấy những cuốn sách luật và thuốc nặng trịch, và kéo cậu con trai bé bỏng tới các cuộc gặp với khách hàng khắp thị trấn. Gerolamo sau này viết rằng “thỉnh thoảng khi chúng tôi đi bộ trên các con đường, cha ra lệnh cho tôi dừng lại, đồng thời ông mở sách, sử dụng đầu tôi như cái bàn, đọc một số đoạn văn dài dặc, đôi khi lấy chân đá để bắt tôi đứng yên mặc dù tôi đang đeo thật là nặng.” 

Năm 1516, Gerolamo xác định ngành y là cơ hội phát triển tốt nhất cho mình và tuyên bố ông muốn đi khỏi Milan và quay trở lại Pavia để học tại đó. Fazio muốn con học luật vì như vậy ông ta sẽ đủ tư cách để nhận 100 curon (tiền Anh, bằng 5 si linh) tiền trợ cấp hàng năm. Sau trận cãi cọ ầm ĩ trong gia đình, Fazio dịu bớt, nhưng vấn đề chưa dừng lại ở đó: không có trợ cấp, Gerolamo sẽ sống thế nào ở Pavia? Ông bắt đầu tiết kiệm tiền kiếm được từ việc đọc tử vi và hướng dẫn học sinh môn hình học, thuật giả kim và thiên văn học. Trong quá trình đó, ông nhận ra mình có năng khiếu cờ bạc, một năng khiếu mang lại cho ông nhiều tiền nhanh hơn bất kỳ phương thức nào khác.

Đối với những ai ham thích cờ bạc vào thời Cardano thì mọi thành phố đều là Las Vegas. Các vụ đặt cược bằng bài, xúc xắc, cờ thỏ cáo, hay thậm chí là cờ vua diễn ra khắp mọi nơi. Cardano phân loại các trò chơi này thành hai loại: thứ nhất là những trò chơi phải có chiến lược hoặc kỹ năng và thứ hai là những trò chơi đơn thuần do sự ngẫu nhiên chi phối. Trong các trò chơi như cờ vua, Cardano có nguy cơ bị lấn át bởi các Bobby Fischer  của thế kỷ XVI. Nhưng khi ông cá cược về kết quả của trò xúc xắc, cơ hội của ông nhiều như bất kỳ ai. Tuy nhiên trong các trò chơi này, ông có một lợi thế do đã tìm hiểu kiến thức về các tỷ lệ chiến thắng trong rất nhiều trường hợp. Và do đó khi gia nhập thế giới cá cược này, Cardano chỉ chơi các trò mang tính ngẫu nhiên thuần túy. Chẳng bao lâu, Cardano đã có hơn 1.000 curon để đi học – nhiều hơn 10 năm tiền lương mà bố ông đã mong đợi. Năm 1520, ông trở thành sinh viên tại Pavia. Ngay sau đó, ông bắt đầu viết lý thuyết về cờ bạc. 

Sinh thời, Cardano có lợi thế hiểu biết nhiều điều từ khi đất nước Hy Lạp còn thuộc về người Hy Lạp, và khi thuộc về La Mã. Tiếp đó, người Hindu đã có những bước tiến trong việc sử dụng số học như một công cụ quyền năng. Khi đó biểu thị số vị bằng hệ số 10 đã phát triển và trở thành chuẩn vào khoảng năm 700 sau Công nguyên. Người Hindu cũng đạt được tiến bộ vượt bậc trong phân số – thứ rất quan trọng trong phân tích xác suất do khả năng xuất hiện của một sự kiện luôn luôn nhỏ hơn 1. Tri thức về phân số của người Hindu được người Ả rập học hỏi và sau cùng mang tới châu Âu. Ở đây những chữ viết viết tắt, p là “cộng” và m là “trừ”, lần đầu tiên được sử dụng vào thế kỷ XV. Cùng lúc ấy, người La Mã sáng tạo ra ký hiệu “+” và “–” nhưng chỉ để biểu thị sự thừa hoặc thiếu cân của các rương hòm. Chúng ta thực sự cảm thông cho những khó khăn của Cardano khi mà dấu bằng chưa tồn tại. Dấu “=” do Robert Recorde của trường Oxford và Cambridge sáng tạo ra năm 1557. Vì chuyên sâu vào hình học nên ông nhận thấy không gì giống nhau hơn các đường thẳng song song và do đó những đường thẳng song song có thể biểu thị sự cân bằng. Và dấu “x”, biểu thị cho phép nhân, được cho là sản phẩm của một mục sư người Anh, không được chấp nhận cho tới thế kỷ XVII.

Cuốn sách Book on Games of Chance của Cardano bao gồm các trò chơi với bài, xúc xắc, cờ thỏ cáo, và xương xên. Cuốn sách không hoàn hảo. Các trang viết phản ánh tính cách của Cardano, các ý tưởng điên rồ, bản tính dữ dội, cảm xúc mạnh mẽ với những ngổn ngang của cuộc đời và thời đại. Cuốn sách chỉ xem xét các quá trình – như tung một xúc xắc hay đổi một lá bài – trong đó một kết quả có khả năng xảy ra như các kết quả khác. Và Cardano sai lầm trong một số luận điểm. Tuy vậy, The Book on Games of Chance thể hiện sự tiên phong, là thành công đầu tiên khi con người chinh phục những tri thức về bản chất của sự không chắc chắn. Và phương pháp Cardano tấn công các vấn đề về sự ngẫu nhiên thật đáng ngạc nghiên cả về tính đơn giản và cả về hiệu quả.

Không phải chương nào trong cuốn sách cũng bàn về các vấn đề kỹ thuật. Ví dụ, chương 26 có tựa đề “Có phải ai dạy giỏi thì cũng chơi giỏi?” (Ông kết luận: “Biết và thực hành là hai vấn đề khác nhau”). Chương 29 có tựa “Đặc điểm của những đấu thủ” (“Có một số người nhiều lý thuyết đã lái cả họ và những người khác ra khỏi linh cảm đúng”). Những điều này có vẻ giống chương trình “Abby thân mến” hơn là “Hãy hỏi Marilyn”. Nhưng trong chương 14 “Kết hợp các luận điểm” (về xác suất), Cardano trình bày cái ông gọi là “một quy tắc chung” – định luật về không gian mẫu của chúng ta.

Thuật ngữ Không gian mẫu ám chỉ các khả năng có thể xảy ra của một quá trình ngẫu nhiên được xem như là các điểm trong một không gian. Trong các trường hợp đơn giản, không gian này chỉ gồm một vài điểm, nhưng trong các trường hợp phức tạp nó có thể là một thể liên tục, giống như không gian ta đang sống vậy. Tuy vậy, Cardano không gọi đó là một không gian: ý niệm rằng một tập hợp số có thể tạo thành một không gian xuất hiện muộn hơn một thế kỷ cho đến khi thiên tài Descartes phát minh ra các tọa độ và hợp nhất đại số và hình học.

Theo ngôn ngữ hiện đại, quy tắc của Cardano được phát biểu như sau: giả sử một quá trình ngẫu nhiên có nhiều kết quả mà khả năng xuất hiện như nhau, một số có lợi (thắng), một số không có lợi (thua). Xác suất một kết quả có lợi xảy ra cũng bằng tỷ lệ của các kết quả có lợi. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra được gọi là không gian mẫu. Nói cách khác, nếu một xúc xắc nằm trên bất cứ mặt nào trong sáu mặt, thì sáu kết quả này tạo thành một không gian mẫu, và nếu bạn đặt cược vào 2 trong số đó thì cơ hội thắng của bạn là 2/6.

Trong giả định này, tất cả các kết quả có khả năng như nhau. Rõ ràng điều đó không luôn đúng. Không gian mẫu khi quan sát cân nặng của Oprah Winfrey (đã từng) dao động từ 65 kg tới 106 kg, và trong suốt thời gian đó không phải lúc nào cân nặng cũng như nhau. Trường hợp các xác suất khác nhau, có xác suất được lý giải bằng sự kết hợp những chênh lệch thích đáng với mỗi kết quả xảy ra – nghĩa là bằng sự tính toán cẩn thận. Nhưng từ giờ chúng ta sẽ nghiên cứu các ví dụ mà trong đó tất cả kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau, giống như những ví dụ mà Cardano đã phân tích.

Sức thuyết phục trong quy tắc của Cardano đi liền với sự tinh vi. Một sự tinh vi nằm trong ý nghĩa của thuật ngữ kết quả (outcomes). Cuối thế kỷ XVII, nhà toán học nổi tiếng người Pháp, Jean Le Rond d’Alembert, tác giả của một số tác phẩm về xác suất, dùng sai khái niệm này khi ông phân tích việc tung 2 đồng xu. Số lượng các mặt ngửa trong mỗi lần tung 2 đồng xu này là 0, 1 hoặc 2. Alembert giải thích do có 3 kết quả, nên khả năng xuất hiện mỗi kết quả phải là 1/3. Nhưng Alembert đã nhầm lẫn. 

Một trong những thiếu sót lớn nhất của Cardano là ông đã không phân tích có hệ thống các cách thức khác nhau mà chuỗi những biến cố có thể xảy ra, như việc tung đồng xu chẳng hạn. Khi xem đến chương sau, ta sẽ thấy rằng không ai phân tích được như vậy cho tới thế kỷ tiếp theo. Tuy vậy, các phương pháp của Cardano có thể dễ dàng áp dụng đối với trường hợp đơn giản như tung hai đồng xu. Các kết quả có thể xảy ra khi tung đồng xu chính là dữ liệu mô tả hai đồng xu tiếp đất, không phải tất cả số mặt ngửa đều được tính từ dữ liệu này, như phân tích của Alembert. Nói cách khác, chúng ta không nên xem 0, 1 hoặc 2 mặt ngửa là các kết quả có thể xảy ra mà đó là các biến cố (ngửa, ngửa), (ngửa, sấp), (sấp, ngửa) và (sấp, sấp). Có bốn xác suất tạo thành một không gian mẫu.

Theo Cardano, bước kế tiếp là sắp xếp các kết quả, phân loại số mặt ngửa mà ta thu được từ mỗi lần gieo. Chỉ một trong bốn trường hợp – (ngửa, ngửa) – hiện ra 2 mặt ngửa. Tương tự, chỉ trường hợp (sấp, sấp) không có mặt ngửa nào. Nhưng nếu chúng ta muốn có 1 mặt ngửa, thì có 2 trường hợp có lợi: (ngửa, sấp) và (sấp, ngửa). Và phương pháp của Cardano chỉ ra Alembert đã sai: cơ hội là 25% đối với 0 hoặc 2 mặt ngửa nhưng là 50% đối với 1 mặt ngửa. Nếu Cardano đặt tiền vào một mặt ngửa với tỷ lệ 1/2, hẳn là ông đã chỉ thua trong nửa thời gian nhưng gấp ba số tiền cược trong nửa còn lại, đây là cơ hội tuyệt vời cho một thiếu niên thế kỷ XVI tiết kiệm tiền đi học – và vẫn là cơ hội tuyệt vời trong thời đại này nếu bạn có ai đó đề nghị đặt cược.

Trong các khóa xác suất sơ cấp, họ thường dạy một dạng toán tương tự với các dạng tôi đã trích từ mục “Hãy hỏi Marilyn”, ví dụ bài toán hai-con-gái. Giả sử một bà mẹ mang song thai khác trứng và muốn biết tỷ lệ mang thai hai bé gái, một trai và một gái, và hai trai. Do đó, không gian mẫu gồm tất cả các trường hợp về giới tính của hai đứa trẻ theo thứ tự ra đời của chúng: (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái) và (trai, trai). Đây là trường hợp không gian mẫu giống với bài toán tung đồng xu ngoại trừ cách đặt tên các vấn đề: mặt ngửa trở thành con gái, và mặt sấp trở thành con trai. Các nhà toán học đã đặt cái tên thú vị cho tình huống toán lồng trong toán (một bài toán được một bài toán khác ngụy trang): họ gọi đó là sự đẳng cấu. Khi bạn gặp một bài toán đẳng cấu, nghĩa là bạn đã bỏ qua được rất nhiều việc. Trong trường hợp này, ta chỉ việc tính xác suất mà cả hai đứa bé là gái theo như cách mà chúng ta đã tính xác suất cả hai đồng đều ngửa trong bài toán tung đồng xu. Và do vậy, thậm chí không cần phân tích ta cũng biết ngay câu trả lời cũng giống hệt: 25%. Chúng ta có thể trả lời câu hỏi trong mục của Marilyn: khả năng ít nhất một trong các em bé là gái bằng khả năng đồng thời cả hai em bé là gái cộng với khả năng chỉ một là gái – từ đó, 25% + 50% = 75%.

Trong bài toán hai-con-gái này, một câu hỏi thêm thường được đặt ra: Xác suất để cả hai đứa trẻ là con gái là bao nhiêu, nếu một trong số chúng là gái là bao nhiêu? Người ta có thể lý giải như sau: do một trong hai đứa trẻ là con gái, nên chỉ còn một đứa trẻ phải xem xét. Cơ hội để đứa trẻ đó là gái chiếm 50%, do đó xác suất của hai đứa là gái chiếm 50%.

Lời giải đó không chính xác. Tại sao ư? Mặc dù giả định của bài toán nói một đứa trẻ là gái, mà không nói đứa trẻ nào, và điều đó thay đổi mọi thứ. Nếu bạn thấy thật rắc rối, cũng không sao, bởi đây là minh họa tốt cho sức mạnh trong phương pháp của Cardano. Phương pháp này làm lời giải trở nên rõ ràng.

Với thông tin mới – một đứa trẻ là gái – chúng ta loại bỏ trường hợp cả hai đứa trẻ là trai. Do đó, sử dụng phương pháp của Cardano, chúng ta loại bỏ trường hợp (trai, trai) ra khỏi không gian mẫu. Chỉ còn lại 3 kết quả trong không gian mẫu: (gái, gái), (gái, trai) và (trai, gái). Trong đó, chỉ có (gái, gái) là kết quả thỏa mãn – nghĩa là cả hai đứa bé là gái – do đó xác suất cả hai đứa trẻ là gái là 1/3, hay 33%. Giờ ta có thể hiểu tại sao giả thuyết của bài toán không xác định đứa trẻ nào là gái lại quan trọng đến thế. Ví dụ, nếu bài toán hỏi xác suất cả hai đứa trẻ là gái, nếu đứa đầu là con gái, thì chúng ta sẽ phải loại trường hợp (trai, trai) và (trai, gái) ra khỏi không gian mẫu và từ đó tỷ lệ là 1/2, hay 50%.

Người ta phải khen ngợi Marilyn vos Savant không chỉ vì sự nỗ lực nâng cao nhận thức công chúng về xác suất sơ cấp mà còn vì đã dũng cảm tiếp tục công bố các câu hỏi như vậy thậm chí cả sau khi đã nếm trải vụ Monty Hall gây nản lòng. Chúng ta sẽ kết thúc vấn đề này với một câu hỏi khác trích từ mục của cô trong số ra tháng 3, 1996:

Bố tôi đã nghe được câu chuyện này trên đài. Tại Đại học Duke, có hai sinh viên đã nhận điểm A môn Hóa trong cả học kỳ. Nhưng trong đêm trước kỳ thi cuối cùng, họ tiệc tùng tại một bang khác và không kịp trở về Duke để dự kỳ thi. Họ giải thích với giáo sư của mình rằng xe họ bị xịt lốp, và hỏi liệu họ có thể làm bài thi bổ sung không. Vị giáo sư đồng ý, và làm một đề thi, và yêu cầu cả hai ngồi làm bài ở hai phòng khác nhau. Câu hỏi đầu tiên (trên một mặt giấy) được 5% điểm. Sau đó, họ lật mặt giấy, và nhận ra câu hỏi thứ hai được 95%: “Cái lốp nào bị xịt?” Xác xuất cả hai sinh viên trả lời giống nhau là bao nhiêu? Bố tôi và tôi nghĩ đó là 1/16. Đúng không ạ?

Không, câu trả lời đó không đúng: nếu hai sinh viên nói dối, xác suất đúng cho việc họ chọn câu trả lời giống nhau là 1/4 (nếu bạn chưa hiểu, bạn có thể xem các ghi chú đằng sau cuốn sách này).. Và giờ đây, chúng ta đã quen với việc phân tích một bài toán trong danh sách các xác suất, chúng ta đã sẵn sàng sử dụng định luật về không gian mẫu để giải bài toán Monty Hall.

Như tôi đã từng nói, để hiểu bài toán Monty Hall không cần đến bất cứ khóa bổ túc về toán nào. Nhưng nó đòi hỏi phải tư duy lôgic cẩn thận, và nếu bạn đang đọc sách này trong khi xem phim Gia đình Simpsons, thì bạn nên tạm dừng một trong hai việc. Tin tốt lành chỉ chiếm vài trang giấy.

Trong bài toán Monty Hall, bạn đối mặt với 3 cánh cửa: sau một cánh cửa là một thứ gì đó có giá trị, một chiếc Maserati đỏ bóng loáng chẳng hạn; đằng sau hai cánh cửa còn lại là một vật ít được ưu thích, như tuyển tập các tác phẩm của Shakespeare bằng tiếng Xéc-bi. Bạn đã chọn cửa 1. Không gian mẫu trong trường hợp này là ba trường hợp như sau:

Chiếc Maserati ở cửa 1

Chiếc Maserati ở cửa 2

Chiếc Maserati ở cửa 3.

Mỗi kết quả có xác suất là 1/3. Do giả định là đa số mọi người đều muốn chiếc Maserati hơn, nên cửa đầu tiên là cửa thắng, và cơ hội đoán đúng của bạn là 1/3.

Theo dữ liệu bài toán, tình tiết tiếp theo là người dẫn chương trình, người biết chính xác cái nằm trong mỗi ô cửa, mở một cửa mà bạn không chọn, và lấy ra một bộ Shakespeare. Trong khi mở ô cửa này, anh ta đã chọn ô cửa không có chiếc xe Maserati, do đó đây không phải là quy trình ngẫu nhiên hoàn toàn. Chỉ còn hai trường hợp để lựa chọn.

Một, ô cửa đầu tiên bạn chọn là chính xác. Hãy cùng gọi đó là kịch bản May mắn. Người dẫn chương trình giờ đây ngẫu nhiên mở cửa số 2 hoặc số 3, và nếu bạn chọn đổi, thay vì tận hưởng chiếc xế lướt nhanh và quyến rũ, bạn sẽ là chủ của cuốn Troilus và Cressida bằng tiếng địa phương Torlak. Trong kịch bản May mắn, bạn không nên đổi – nhưng xác suất xuất hiện kịch bản May mắn chỉ là 1/3.

Trường hợp thứ hai, lựa chọn đầu tiên của bạn đã sai. Chúng ta sẽ gọi đây là kịch bản Đoán sai. Xác suất bạn đoán sai là 2/3, do đó kịch bản Đoán sai có khả năng xuất hiện nhiều gấp đôi kịch bản May mắn. Phân biệt kịch bản Đoán sai và kịch bản May mắn như thế nào? Trong kịch bản đoán sai, chiếc Maserita nằm trong ô cửa mà bạn không chọn, và một bản Shakespear bằng tiếng Xéc-bi nằm trong ô cửa không được chọn còn lại. Không giống với kịch bản May mắn, trong kịch bản này người dẫn chương trình không mở ngẫu nhiên một cửa chưa được chọn. Do không muốn lộ chiếc Maserati, nên anh ta chọn chính xác ô cửa không có chiếc xe. Nghĩa là, trong kịch bản Đoán sai người dẫn chương trình can thiệp vào cái mà cho đến giờ vẫn là trò chơi ngẫu nhiên. Do đó, trò chơi không còn ngẫu nhiên nữa: người dẫn chương trình đã dùng hiểu biết của mình để thay đổi kết quả, sự ngẫu nhiên bị xâm phạm bằng việc bảo đảm nếu bạn đổi lựa chọn, bạn sẽ nhận được một chiếc xe đỏ tuyệt vời. Do sự can thiệp này, nếu bạn thấy mình ở kịch bản Đoán sai, thì bạn sẽ thắng nếu bạn đổi và bạn sẽ thua nếu không đổi.

Tóm lại: nếu bạn ở kịch bản May mắn (xác suất 1/3), bạn sẽ thắng nếu kiên quyết giữ lựa chọn của mình. Nếu bạn ở kịch bản Đoán sai (xác suất 2/3), dựa vào hành động của người dẫn chương trình, bạn sẽ thắng nếu bạn đổi lựa chọn. Và quyết định của bạn thực ra là dự đoán: bạn thấy mình đang ở kịch bản nào? Nếu bạn cảm thấy ESP hoặc số phận đã dẫn đường cho bạn tới lựa chọn đầu tiên, có lẽ bạn không nên đổi. Nhưng trừ phi bạn có thể bẻ xoắn chiếc thìa bạc bằng sóng thần kinh của mình, tỷ lệ 2/1 là bạn đang trong kịch bản Đoán sai, và do đó bạn nên đổi. Các thống kê từ chương trình truyền hình đã làm sáng tỏ vấn đề: những người đã từng ở tình huống như bài toán mô tả và đổi lựa chọn và thắng nhiều gấp hai lần những người không đổi.

Bài toán Monty Hall khó nắm bắt trừ phi bạn suy nghĩ thật cẩn thận, vai trò của người dẫn chương trình, giống như vai trò của người mẹ vậy, không được đánh giá đúng mức. Nhưng người dẫn chương trình đang điều khiển trò chơi. Vai trò của người dẫn chương trình có thể làm rõ nếu ta giả sử rằng thay vì có 3 ô cửa, ta có 100 ô cửa. Bạn vẫn chọn cửa số 1, nhưng giờ đây xác suất chọn đúng của bạn là 1/100. Đồng nghĩa với việc xác suất chiếc xe Maserati trong các ô cửa còn lại là 99/100. Như trước đây, người dẫn chương trình mở tất cả các ô cửa mà bạn không chọn trừ một ô cửa, để đảm bảo không mở ô cửa giấu chiếc Maserati nếu nó nằm trong đó. Sau đó, xác suất vẫn là 1/100 cho chiếc Maserati nằm trong ô cửa bạn đã chọn và vẫn là 99/100 rằng nó nằm trong một trong những ô cửa còn lại. Nhưng giờ đây, nhờ sự can thiệp của người dẫn chương trình, chỉ còn duy nhất 1 ô cửa, do đó xác suất để chiếc Maserati nằm trong ô cửa còn lại là 99/100.

Nếu bài toán Monty Hall cũng xuất hiện ở thời đại của Cardano, liệu ông sẽ là một Marilyn vos Savant hay một Paul Erdös? Định luật về không gian mẫu giải quyết bài toán này thật tuyệt, nhưng cũng không có gì chắc chắn, vì lời giải nổi tiếng đầu tiên của bài toán này (nhưng dưới cái tên khác) xuất hiện vào năm 1959, trong một bài báo của Martin Gardner trên tạp chí Scienctific American. Gardner gọi đây là “bài toán rắc rối hay tuyệt” và lưu ý rằng “không một lĩnh vực nào khác của toán học có thể dễ dàng khiến các chuyên gia mắc sai lầm như trong lý thuyết xác suất.” Tất nhiên, đối với một nhà toán học, mắc sai lầm thực sự rất xấu hổ, nhưng đối với một tay cờ bạc đó là vấn đề kế sinh nhai. Và do vậy cũng rất hợp lý khi lý thuyết hệ thống đầu tiên về xác suất do chính Cardano, một tay cờ bạc, phát hiện ra.

Khi Cardano đang ở độ tuổi thiếu niên, một ngày, một người bạn của ông qua đời đột ngột. Sau đó vài tháng, Cardano nhận thấy không ai nhắc đến tên của cậu bạn ấy nữa. Điều này làm cậu bé Cardano rất buồn và có ấn tượng sâu sắc. Làm sao để người ta vượt qua thực tế rằng cuộc sống rất phù du? Cậu xác định cách duy nhất là phải để lại điều gì đó – đồ thừa kế hoặc các tác phẩm trường cửu hoặc cả hai. Trong tự truyện của mình, Cardano mô tả sự lớn dần của “tham vọng không thể lay chuyển được”: phải để lại dấu ấn trên thế giới này.

Sau khi lấy bằng Y khoa, Cardano quay trở lại Milan, tìm công việc. Ở trường đại học, ông đã viết một bài báo, “Về những ý kiến khác nhau đối với nghề bác sĩ”, trong đó đặc biệt gọi lực lượng y tế là một đám lang băm. Đại học y Milan bấy giờ thay đổi thiện ý, từ chối tiếp nhận ông. Do đó, ông không được làm việc ở Milan. Bằng tiền tiết kiệm từ việc trợ giảng và cờ bạc, Cardano mua một ngôi nhà nhỏ ở phía Tây thị trấn Piove di Sacco. Ông kỳ vọng vào công việc ở đây bởi vì bệnh tật tràn lan trong thị trấn mà chẳng có bác sỹ nào. Nhưng nghiên cứu thị trường của ông lại mắc sai lầm tai hại: thị trấn không có bác sỹ vì dân chúng muốn được thầy tu và thầy phù thủy cứu chữa hơn. Sau vài năm làm việc và nghiên cứu vất vả, Carano tự nhận thấy thu nhập quá ít mà lại có quá nhiều thời gian rảnh rỗi. Đây là thời gian may mắn để ông tăng cơ hội và bắt đầu viết sách. Một trong số đó là cuốn Sách về các trò chơi ngẫu nhiên (The Book on Games of Chance).

Sau 5 năm ở Sacco, năm 1532, Cardano quay trở lại Milan, hy vọng sẽ xuất bản được sách và một lần nữa nộp đơn xin việc vào Đại học Y. Trên cả hai lĩnh vực, ông đều bị từ chối. Vào những ngày đó, ông viết, “tôi chán ngán đến mức tôi đã đến gặp thầy bói và thầy phù thủy để tìm ra giải pháp tháo gỡ khó khăn nhiều mặt của mình.” Một thầy phù thủy khuyên ông nên tránh ánh sáng của Mặt trăng. Một người khác thì cho rằng khi thức dậy, ông hắt hơi ba lần và gõ vào gỗ. Cardano làm theo tất cả những chỉ dẫn đó, nhưng không gì thay đổi được vận xui của ông. Do đó, ông bắt đầu lén lút gây dựng từng chút một trong đêm, lén chữa trị cho các bệnh nhân hoặc không thể trả nổi tiền cho các bác sỹ hợp pháp hoặc không có tiến triển gì nhờ sự cứu chữa từ thầy tu và thầy phù thủy. Để phụ thêm vào số tiền kiếm được từ việc trên, như ông viết trong tự truyện của mình, ông “buộc phải chơi xúc xắc lần nữa để có thể lo được cho vợ, và ở đây kinh nghiệm của tôi đánh bại vận mệnh, và chúng tôi sẽ có tiền mua thức ăn và sống, dẫu chỉ là trong cái phòng trọ tồi tàn này.” Về phần cuốn The Book on Games of Chance, mặc dù ông đã duyệt lại và chỉnh sửa bản thảo liên tục trong nhiều năm sau, nhưng chưa bao giờ công bố nó, có lẽ bởi ông nhận thấy đi dạy người khác chơi cờ bạc giỏi như mình không phải là một ý hay.

Cuối cùng, Cardano đã đạt được các mục tiêu của cuộc đời, giành được cả của cải và danh tiếng – một cuộc đánh đổi vận mệnh tốt. Sự thịnh vượng bắt đầu ập đến khi ông công bố cuốn sách dựa trên bài báo cũ ở trường đại học, sửa lại tựa mang tính học thuật “Quá trình phân tích những quan điểm của các bác sỹ” thành tựa sinh động hơn “Phân tích những thực tế tồi tệ của y học trong cuộc sống” (On the Bad Practice of Medicine in Common Use). Cuốn sách đã thành công lớn. Và tiếp đó, khi một trong những bệnh nhân bí mật của ông, một Cha bề trên nổi tiếng của nhà thờ Augustan, đột nhiên (và hoàn toàn tình cờ) cho rằng sự hồi phục của mình là nhờ Cardano, khiến danh tiếng bác sỹ của Cardano tăng cao ngùn ngụt đến mức Trường Y không chỉ mời ông làm thành viên mà còn phong ông làm Hiệu trưởng. Đồng thời lúc đó, ông xuất bản thêm một số cuốn sách và đều thành công, đặc biệt là cuốn mà đông đảo công chúng gọi là Số học thực hành (The Practice of Arithmetic). Một vài năm sau, ông xuất bản thêm một cuốn sách kỹ thuật có tên Ars magna (Khoa học vĩ đại nhất), chuyên khảo về Đại số học trong đó ông đưa ra bức tranh rõ ràng đầu tiên về số âm và phân tích nổi tiếng về các phương trình đại số. Khi gần 50 tuổi, giữa năm 1550, Cardano đạt tới đỉnh cao thành công, là trưởng khoa Y của Đại học Pavia và là một người giàu có.

Nhưng vận may của ông không kéo dài mãi mãi. Cái thực sự làm Cardano lụn bại chính là một phần tài sản của ông – các con ông. Năm 16 tuổi, cô con gái Chiara (đặt theo tên mẹ ông) đã quyến rũ người con trai cả, Giovanni, và có thai. Cô phá thai và hậu quả bị vô sinh. Dù sao điều này cũng thích hợp với tính cách của cô, vì cô quan hệ bừa bãi một cách trơ trẽn, thậm chí ngay cả khi đã kết hôn, và mắc bệnh giang mai. Giovanni sau đó trở thành bác sĩ, nhưng nổi tiếng là một tên phạm tội vặt hơn, và cũng nổi tiếng vì anh ta bị ép làm đám cưới với một gia đình người đào vàng có bằng chứng rằng anh ta đã giết một viên chức bằng thuốc độc. Đồng thời, Aldo, người con thứ của Cardano, người thích thú việc tra tấn động vật ngay từ bé, và biến sự đam mê đó thành nghề nghiệp – một tên tra tấn tự do cho Tòa Dị giáo. Cũng như Giovanni, anh ta nổi tiếng là kẻ lừa đảo.

Vài năm sau khi kết hôn, Giovanni đưa cho người hầu thứ thuốc bí mật để trộn vào bánh cho vợ của mình ăn. Khi vợ hắn ngã lịm sau khi ăn tráng miệng, chính quyền đã bắt cả hai. Mặc dù Gerolamo đã trả rất nhiều tiền cho các luật sư, nỗ lực hết sức để cứu vãn, nhưng chẳng bao lâu sau, cậu con trai Giovanni bị đi tù. Sự kiệt quệ về tiền bạc và danh tiếng khiến ông trở nên yếu đuối trước kẻ thù cũ. Thượng viện ở Milan xóa tên ông khỏi danh sách những người được thuyết giảng, buộc ông tội thủ dâm và loạn luân, trục xuất ông khỏi Milan. Khi Cardano rời Milan cuối năm 1563, ông viết trong tự truyện của mình, ông “một lần nữa trở nên rách rưới, vận may mất, thu nhập mất, không có nhà ở, sách bị sung công.” Lúc này, tư duy của ông cũng vậy, nó rơi vào thời kỳ suy nghĩ không mạnh lạc. Rồi một cơn cuồng phong cuối cùng, một nhà toán học tự nghiên cứu tên Niccolò Tartaglia rất giận dữ vì trong Ars magna Cardano đã tiết lộ phương pháp bí mật của Tartaglia về giải một số phương trình, hắn dụ dỗ Aldo đưa ra bằng chứng chống lại cha mình để đổi lấy một công việc chính thức làm đao phủ và người hành quyết của thành phố Bologna. Cardano đi tù một thời gian ngắn, sau đó lặng lẽ sống những năm cuối đời tại Rome. The Book on Games of Chance cuối cùng được công bố năm 1663, hơn 100 năm sau khi cậu thanh niên Cardano bắt đầu viết. Từ đó, phương pháp phân tích của ông được sao chép và học hỏi.