Nếu một tay cờ bạc vào thời của Cardano hiểu được công trình toán học về sự ngẫu nhiên của ông, thì cõ lẽ anh ta đã kiếm được một khoản kha khá nhờ đánh bại những đối thủ kém hiểu biết hơn. Ngày nay, với lý thuyết mà ông đã đưa ra, Cardano có lẽ đã có cả tiền tài và danh vọng khi viết những cuốn sách như The Idiot’s Guide to Casting Dice with Suckers (Cẩm nang chơi xúc xắc nhưng thiếu chuyên nghiệp). Nhưng trong thời đại của mình, công trình của Cardano không tạo được tiếng vang lớn, và cuốn Book on Games of Chance không được xuất bản sau khi ông mất một thời gian khá dài. Tại sao công trình của Cardano thời đó lại có ít ảnh hưởng đến vậy? Như chúng ta đã nói, một trở ngại cho những người đi trước ông là thiếu hệ thống ký tự đại số chuẩn. Hệ thống đó đã được cải thiện vào thời của Cardano nhưng vẫn còn trong “thời kỳ trứng nước”. Tuy nhiên, vẫn còn một rào cản khác chưa được gỡ bỏ: Cardano nghiên cứu vào thời điểm các bùa chú thần bí có nhiều giá trị hơn các phép tính toán học. Nếu con người không tìm kiếm trật tự tự nhiên và không xây dựng những mô tả định lượng về các sự kiện, thì lý thuyết về tác động của sự ngẫu nhiên tới các sự kiện đó chắc chắn không được chấp nhận. Khi sự việc xảy ra, nếu như Cardano sống vào vài thập kỷ sau đó, thì cả công trình của ông và sự tiếp nhận nó đã khác hẳn, vì vài thập kỷ sau khi ông mất, sự thay đổi sâu sắc trong tư tưởng và niềm tin truyền thống ở châu Âu đã dẫn tới cuộc cách mạng khoa học.

Cuộc cách mạng khoa học là sự nổi dậy chống lại cách tư duy đã phổ biến tại châu Âu từ thời Trung Cổ, thời kỳ con người tin rằng thế giới vận hành không theo một trật tự nào. Những tay lái buôn trong thị trấn ăn trộm quần áo của người bị treo cổ vì họ tin nó sẽ giúp họ bán được nhiều bia. Ở chỗ khác, giáo dân tin bệnh tật có thể chữa khỏi nhờ ca cầu những bài kinh báng bổ khi họ khỏa thân bước quanh bệ thờ. Có thương nhân thậm chí tin rằng đi vệ sinh “nhầm” chỗ sẽ gặp vận xui. Sự thực anh ta là một tay giao dịch trái phiếu, anh ta đã tiết lộ bí mật của của mình cho phóng viên CNN năm 2003. Vâng, ngày nay một số người vẫn còn rất mê tín, nhưng chí ít đối với những người này, chúng ta có những công cụ trí tuệ để chứng minh hoặc bác bỏ hiệu lực của những hành động như vậy. Nhưng nếu những bạn cờ bạc của Cardano thắng xúc xắc, thay vì phân tích chiến thắng bằng toán học, họ sẽ tạ ơn Chúa hoặc từ chối giặt đôi tất may mắn của mình. Bản thân Cardano tin rằng vận thua xảy ra vì “vận mệnh chống đối” và cách để cải thiện kết quả là cứ “ném mạnh tay”. Nếu may mắn nằm trong tay, thì tại sao phải cần đến toán học?

Thời điểm năm 1583 được coi là bước ngoặt đối với cuộc cách mạng khoa học, chỉ 7 năm sau khi Cardano mất. Đó là khi một sinh viên trẻ của trường Đại học Pisa ngồi trong thánh đường và, theo kể lại, thì thay vì nghe giảng, anh ta lại chăm chú nhìn cái gì đó đằng xa một cách say mê: sự đung đưa của một chiếc đèn treo lớn. Sử dụng nhịp mạch của mình để bấm giờ, Galileo Galilei nhận thấy chiếc đèn mất một khoảng thời gian bằng nhau để đung đưa cho dù với một cung rộng hay một cung hẹp. Sự quan sát này gợi cho anh ta một quy luật: Thời gian để con lắc dao động độc lập với biên độ. Đó là một quan sát chính xác và thực tế, và mặc dù phát biểu rất đơn giản, nhưng nó đem lại một tiếp cận mới đối với một hiện tượng vật lý: quan điểm rằng khoa học phải trọng tâm vào kinh nghiệm và thực nghiệm – tự nhiên vận hành như thế nào – thay vì những đánh giá trực giác. Và trong hầu hết các trường hợp, ta cần phải giải quyết bằng toán học.

Galileo sử dụng kỹ năng toán học để viết những mẩu báo về cờ bạc, “Thoughts about Dice Games” (Suy nghĩ về trò xúc xắc). Tác phẩm viết theo yêu cầu của ông chủ, đại công tước của Tuscany. Vấn đề khiến vị đại công tước này đau đầu là: khi bạn ném 3 xúc xắc, tại sao bạn hay được 10 điểm hơn là 9 điểm? Xác suất tổng 3 lần ném được hơn 10 điểm chỉ khoảng 8%, và cho dù xác suất đạt 10 điểm hoặc 9 điểm lớn hơn, thì thực tế, vị đại công tước này đã gieo xúc xắc đủ nhiều để có thể rút ra được sự khác biệt nhỏ này hay nói cách khác ông ta có lẽ cần một chương trình “mười hai bước hoàn hảo” thay vì cần Galileo. Vì lý do nào đó, Galileo không hứng thú với bài toán và cằn nhằn về nó, nhưng giống như bất cứ cố vấn nào muốn giữ việc, ông kiềm chế sự khó chịu và làm công việc của mình.

Nếu bạn ném 1 xúc xắc, thì bất cứ số nào cũng có khả năng xuất hiện là 1/6. Nhưng nếu bạn ném 2 xúc xắc, xác suất xuất hiện của các tổng khác nhau không còn bằng nhau nữa. Ví dụ, xác suất ném xúc xắc để có tổng là 2 là 1/36, gấp 2 lần xác suất xuất hiện tổng là 3. Lý do là để ném được 2 điểm thì chỉ có 1 cách: mỗi xúc xắc được 1 điểm, nhưng để ném được được 3 điểm thì có 2 cách: ném xúc xắc đầu tiên được 1 điểm, xúc xắc thứ hai được 2 điểm hoặc ném xúc xắc đầu được 2 điểm, xúc xắc thứ hai được 1 điểm. Điều này giúp chúng ta có bước tiến quan trọng để hiểu rõ quy trình ngẫu nhiên – chủ đề của chương này: sự phát triển của các phương pháp hệ thống nhằm phân tích nhiều khả năng sự kiện có thể xảy ra.

CHÌA KHÓA cho bài toán của vị đại công tước chính là việc tiếp cận bài toán như thể bạn là một học giả Talmud: thay vì cố gắng giải thích tại sao 10 điểm lại hay xảy ra hơn 9 điểm, chúng ta hãy hỏi, tại sao 10 điểm lại không nên xảy ra thường xuyên hơn 9 điểm chứ? Thực ra có lý do rất đáng để tin rằng tổng ném xúc xắc là 10 hay 9 đều có tần suất như nhau: cả 10 và 9 điểm đều xuất hiện 6 khả năng từ việc ném 3 cái xúc xắc. Đối với 9 điểm, ta có thể viết các khả năng này như sau (621), (531), (522), (441), (432) và (333). Đối với 10 điểm các khả năng là (631), (622), (541), (532), (442) và (433). Theo định luật của Cardano về không gian mẫu, khả năng xảy ra một trường hợp có lợi bằng với tỷ lệ các trường hợp bất lợi. Tổng điểm bằng 9 và 10 được tính theo số trường hợp bằng nhau. Do đó, tại sao tổng này lại có thể xuất hiện nhiều hơn tổng kia cơ chứ?

Như tôi đã nói, định luật về không gian mẫu nguyên gốc chỉ áp dụng cho các kết quả mà xác suất xuất hiện bằng nhau, còn các trường hợp phức hợp ở trên thì không. Ví dụ, kết quả (631) – nghĩa là 3 lần ném được 6 điểm, 3 điểm và 1 điểm – xuất hiện nhiều gấp 6 lần so với kết quả (333) bởi bạn chỉ có duy nhất 1 trường hợp là bạn ném cả 3 xúc xắc đều được 3 điểm, nhưng bạn có tới 6 cách để ném được 1 xúc xắc 6 diểm, 1 xúc xắc được 3 điểm, và 1 xúc xắc được 1 điểm: xúc xắc đầu tiên được 6 điểm, cái tiếp theo được 3 điểm và cuối cùng được 1 điểm; hoặc xúc xắc đầu tiên được 1 điểm, cái tiếp theo được 3 điểm và cuối cùng được 6 điểm… Hãy cùng hình dung một kết quả bằng cách theo dõi thứ tự ném minh họa bởi bộ ba số. Từ đó, điều chúng ta vừa nói có thể tóm lược như sau: kết quả (631) bao gồm các khả năng (1,3,6), (1,6,3), (3,1,6), (3,6,1), (6,1,3) và (6,3,1), trong khi đó kết quả (333) chỉ có 1 khả năng (3,3,3). Một khi ta đã thực hiện phân tích như vậy, ta thấy các kết quả có xác suất xảy ra bằng nhau, ta có thể áp dụng định luật. Do có 27 cách để ném được 10 điểm với 3 xúc xắc nhưng chỉ có 25 cách để được 9 điểm, nên Galileo kết luận với 3 xúc xắc, khả năng ném được 10 điểm là 27/25, nghĩa là xuất hiện nhiều gấp 1,08 lần.

Khi giải bài toán, Galileo hoàn toàn sử dụng nguyên tắc quan trọng tiếp theo mà chúng ta sẽ đề cập: các khả năng của một sự kiện phụ thuộc vào số lượng cách xuất hiện sự kiện đó. Đó không phải một nhận định gây ngạc nhiên. Điều đáng ngạc nhiên chính là tác động của nó lớn đến mức nào – và thật khó để tính toán được điều đó. Ví dụ, giả sử bạn có 10 câu hỏi nhanh đúng hoặc sai cho một lớp học gồm 25 học sinh lớp 6. Hãy thử tính số điểm mà một học sinh có thể làm được: học sinh có thể trả lời đúng tất cả câu hỏi; học sinh đó cũng có thể sai một câu – do đó có 10 cách để điều này xảy ra vì có 10 câu có thể sai; học sinh đó cũng có thể sai 2 câu – sẽ xảy ra 45 cách vì có 45 đôi câu hỏi khác nhau; v.v… Do đó, trung bình trong tập hợp học sinh trả lời ngẫu nhiên và đối với mỗi học sinh đúng 100%, bạn sẽ có 10 học sinh đúng 90% và 45 học sinh đạt 80%. Các khả năng để một học sinh đạt dưới 50% tất nhiên còn cao hơn nhiều, nhưng trong một lớp gồm 25 học sinh, khả năng để ít nhất một học sinh nhận điểm B (80%) trở lên là khoảng 75%. Do vậy, nếu bạn là một giáo viên nhiều kinh nghiệm, bạn sẽ biết rằng chắc chắn trong số tất cả học sinh không chuẩn bị kỹ bài trong những năm qua, một số người đã từng được điểm A hoặc B.

Vài năm trước đây, các nhân viên sổ xố Canada đã học được tầm quan trọng của việc tính toán cẩn thận phương thức trao giải khi quyết định quay thưởng tổng số tiền thưởng chưa có ai nhận bao năm qua. Họ mua 500 chiếc ôtô làm giải thưởng và lập phần mềm máy tính để xác định người thắng cuộc bằng cách chọn ngẫu nhiên 500 số điện thoại từ danh sách 2,4 triệu số tham gia. Công ty công bố danh sách chưa sắp xếp của 500 số điện thoại thắng cuộc, hứa hẹn trao thưởng mỗi số trong danh sách một chiếc ôtô. Thật ngượng cho họ! Một người khẳng định (một cách chính xác) anh ta đã trúng 2 chiếc ôtô. Các nhân viên đã rất sửng sốt – trong số hơn 2 triệu số điện thoại, làm sao máy tính lại có thể chọn ngẫu nhiên cùng một số đến hai lần? Phần mềm của họ có lỗi chăng?

Bài toán tính toán mà các nhân viên sổ xố gặp phải cũng giống như một bài toán mà ta gọi là bài toán sinh nhật: Phải lập nhóm gồm bao nhiêu người để xảy ra khả năng hai người trong nhóm có cùng ngày sinh (giả sử các ngày sinh có xác suất như nhau)? Đa số mọi người nghĩ đáp áp là một nửa tổng số ngày trong một năm, tức khoảng 183. Nhưng đó là đáp án đúng cho một câu hỏi khác: Bạn cần bao nhiêu người có ngày sinh khác nhau để xảy ra khả năng một người trong số họ có cùng ngày sinh với bạn? Nếu không có ràng buộc về hai người có cùng ngày sinh, sự thực là có nhiều cặp có khả năng trùng ngày sinh. Do đó, đáp án khác đi nhiều. Thực tế, con số thấp đáng kinh ngạc: Chỉ 23 người. Khi lấy dữ liệu từ 2,4 triệu số, trong trường hợp của công ty sổ xố Canada, máy tính chọn nhiều hơn 500 số để tránh xảy ra khả năng trùng lặp. Tuy nhiên xác suất này không nên bị lờ đi. Trên thực tế, xác suất trùng là 5%. Không lớn, nhưng nó đã có thể tính ra khi máy tính loại bỏ các số điện thoại ra khỏi danh sách vừa chọn. Đối với kết quả công bố, công ty sổ xố Canada đề nghị người chơi may mắn từ bỏ chiếc xe thứ hai, nhưng anh này từ chối.

Một vụ sổ xố ly kỳ khác, khiến nhiều người phải nhíu mày, xảy ra tại Đức ngày 21 tháng 6 năm 1995. Sự việc kỳ quái diễn ra tại giải số xổ tên là Lotto 6/49, tức là thắng 6 số quay từ số 1 đến 49. Vào ngày đó, các số trúng giải là 15-25-27-30-42-48. Dãy số này đã từng được quay vào ngày 20 tháng 12 năm 1986. Đó là lần đầu tiên trong 3016 lần quay thưởng mà dãy số trúng giải lặp lại. Xác suất xảy ra điều này là bao nhiêu? Không ít như bạn nghĩ đâu. Sau khi tính toán, xác suất lặp lại các số trong nhiều năm hóa ra là 28%.

Do trong quy trình ngẫu nhiên, số lượng các cách mà một kết quả xảy ra là chìa khóa để xác định xác suất của nó, nên chìa khóa của bài toán là: làm thế nào để tính số lượng các cách mà điều gì đó xảy ra? Galileo dường như đã bỏ qua tầm quan trọng của câu hỏi này. Ông không tiến hành nghiên cứu về tính ngẫu nhiên sâu hơn bài toán xúc xắc và từng nói trong đoạn mở đầu công trình rằng ông viết về xúc xắc chỉ bởi vì ông được “đặt hàng”. Năm 1633, do đẩy mạnh một phương pháp tiếp cận mới về khoa học, Galileo bị tòa Dị giáo kết tội. Mặc dù khoa học và thần học khác nhau về cách thức hướng tới điều tốt đẹp; nhưng các nhà khoa học giờ đây phân tích câu hỏi như thế nào? Tại sao những quan điểm cũng phần nào bị ảnh hưởng bởi các nhà thần học? Một học giả thuộc thế hệ mới, từ bé đã học về các triết lý khoa học của Galileo, phân tích sự kiện ngẫu nhiên dựa vào các tầm cao mới, đạt tới trình độ hiểu biết mà nếu không có nó thì phần lớn các khoa học ngày nay có thể nằm ngoài tầm kiểm soát.

VỚI SỰ BÙNG NỔ của cuộc cách mạng khoa học, biên giới của sự ngẫu nhiên đã chuyển từ Ý sang Pháp, nơi sản sinh ra một nhà khoa học mới, chống lại Aristotle và ủng hộ Galileo, phát triển lý thuyết xác suất sâu sắc hơn cả Cardano và Galileo. Lần này, tầm quan trọng của nghiên cứu được công nhận, và nó sẽ tạo ra những làn sóng trên toàn châu Âu. Mặc dù các ý tưởng sẽ lại một lần nữa xuất hiện trong bối cảnh cờ bạc, điều đầu tiên phải kể đến nhân vật mới người cũng từ một nhà toán học trở thành tay cờ bạc, giống như Cardano, một tay cờ bạc biến thành nhà toán học. Tên của ông là Blaise Pascal. 

Pascal sinh tháng 6 năm 1623 tại Clermont – Ferrant, cách phía Nam Paris hơn 250 dặm. Nhận ra tài năng của cậu con trai, sau khi chuyển đến Paris, cha của Blaise cho cậu bé 13 tuổi tham gia vào một nhóm thảo luận mới được thành lập. Thành viên của nhóm này được gọi là Académie Mersenne, theo tên vị thầy tu đã thành lập nhóm. Nhóm của Mersenne có nhà toán học – triết học danh tiếng René Descartes và thiên tài toán học không chuyên Pierre de Fermat. Sự pha trộn kỳ lạ giữa những tư duy lỗi lạc, cái tôi lớn, với sự hiện diện của Mersenne nhằm khuấy đảo nhóm thảo luận này, hẳn đã ảnh hưởng rất lớn tới tuổi thơ của Blaise – cậu bé đã phát triển những ràng buộc cá nhân với cả Fermat và Descartes và tìm được điểm dừng chân vững chắc trong phương pháp khoa học mới này. “Hãy để tất cả môn đệ của Aristotle…,” ông viết, “nhận ra rằng đối với môn Vật lý thì các thí nghiệm chính là người thầy thực sự đáng học.”

Nhưng làm sao một tên “mọt sách” và mộ đạo lại vướng vào những vấn đề cờ bạc thành thị? Thỉnh thoảng Pascal bị đau dạ dày, khó ăn và tiêu hóa, sức yếu, đau đầu trầm trọng, đổ mồ hôi trộm và bị liệt chân cục bộ. Ông kiên trì chịu đựng lời khuyên của bác sỹ, như chích máu, xổ ruột, và dùng sữa lừa và những chất lỏng “kinh khủng” khiến ông khó mà không nôn mửa – “một sự tra tấn thực sự”, theo lời chị gái Gilberte của ông. Pascal sau đó rời Paris cho tới mùa hè năm 1647, nhưng năm 24 tuổi, với cảm giác ngày càng tuyệt vọng, ông quay trở lại Paris cùng với em gái Jacqueline nhằm tìm kiếm liệu pháp y học tốt hơn. Ở đây, nhóm bác sỹ mới đề nghị một biện pháp tiên tiến nhất rằng Pascal “phải ngừng tất cả các hoạt động trí óc, và càng nghỉ ngơi nhiều càng tốt.” Do đó, Pascal tự dạy mình thư giãn và nghỉ ngơi, và ông bắt đầu dành thời gian kết bạn với những người trẻ tuổi nhàn rỗi khác. Sau đó, năm 1651, cha của Blaise mất, và đột nhiên ông trở thành một chàng trai ngoài đôi mươi tuổi với một khối tài sản lớn. Ông dùng tiền bạc vào những mục đích tốt, làm theo lời khuyên của các bác sỹ. Những nhà viết sử gọi những năm từ 1651 đến 1654 là “thời kỳ trải đời” của Pascal. Chị gái Gilberte gọi nó là “thời kỳ vô tích sự nhất.” Mặc dù đã cố gắng hết sức, những nghiên cứu khoa học của ông vẫn không đi đến đến đâu, nhưng theo các ghi chép, sức khỏe của ông lại tốt lên trông thấy.

Theo thông lệ lịch sử, nghiên cứu về sự ngẫu nhiên thường được hỗ trợ bằng một sự kiện mà bản thân nó cũng ngẫu nhiên. Nghiên cứu của Pascal trình bày một tình huống như vậy, vì việc ông từ bỏ nghiên cứu đã đưa ông tới với nghiên cứu về tính ngẫu nhiên. Tất cả bắt đầu khi một người bạn giới thiệu ông với một tay trưởng giả tên Antoine Gombaud. Gombaud, một quý tộc có tước hiệu là hiệp sĩ de Méré, tự coi mình là bậc thầy tán tỉnh, và khẳng định bằng danh sách tình cảm rắc rối của mình. Nhưng de Méré cũng là một chuyên gia cờ bạc, người rất thích đặt cọc cao và thường thắng đến nỗi một số người nghi ngờ hắn ta ăn gian. Và khi hắn vấp phải một vụ bê bối cờ bạc, hắn quay ra nhờ Pascal giúp đỡ. De Méré đã khởi xướng một cuộc điều tra giúp chấm dứt thời kỳ khô cạn ý tưởng khoa học của Pascal, gắn vị trí của riêng de Méré vào lịch sử học thuyết ngẫu nhiên, và giải bài toán bỏ ngỏ trong nghiên cứu của Galileo về tung xúc xắc của vị đại công tước.

Đó là năm 1654. Bài toán de Méré mang lại cho Pascal được gọi là bài toán về các điểm: giả sử bạn và một người chơi khác đang chơi một trò mà trong đó cả hai người có cơ hội như nhau và người chơi đầu tiên giành được số điểm nhất định sẽ thắng. Trò chơi sẽ kết thúc khi một người có số điểm cao hơn. Cách nào là công bằng nhất để chia số tiền? Theo de Méré thì giải pháp nên phản ánh cơ hội chiến thắng của mỗi người chơi đạt số điểm chiếm ưu thế khi trò chơi bị kết thúc. Nhưng bạn tính bằng cách nào?

Pascal nhận ra cho dù câu trả lời là gì, thì phương pháp cần để tính ra nó vẫn còn là một dấu hỏi, và những phương pháp đó, cho dù chúng là gì, chắc chắn có tầm quan trọng trong bất kỳ tình huống cạnh tranh nào. Tuy nhiên, như những điều thường xảy ra trong nghiên cứu lý thuyết, Pascal nhận thấy mình không chắc chắn, và thậm chí bối rối, về kế hoạch hành động của mình. Ông xác định cần một người cộng tác, hoặc ít nhất là một nhà toán học khác để cùng ông thảo luận các quan điểm. Marin Mersenne, một nhà truyền tin tuyệt vời, đã mất vài năm trước đó, nhưng Pascal vẫn liên lạc với mạng lưới Académie Mersenne. Và năm 1654 khởi đầu cho một trong những mối quan hệ vĩ đại trong lịch sử toán học, giữa Pascal và Pierre de Fermat.

Năm 1654, Fermat nắm giữ vị trí cao trong Tournelle, tức tòa hình sự, tại Toulouse. Khi xử án, Fermat áo choàng chỉnh tề xét xử những chức tước sai phạm, những kẻ nếu mắc tội sẽ bị thiêu chết. Nhưng bên ngoài tòa án, ông biến những kỹ năng phân tích thành hoạt động theo đuổi toán học. Có thể là một người “a-ma-tơ”, nhưng Pierre de Fermat được coi là nhà toán học không chuyên vĩ đại nhất mọi thời đại.

Fermat không giành được vị trí cao nhờ bất cứ tham vọng hay thành tựu cụ thể nào. Ông tiến thân theo cách cổ điển, khi cấp trên chết vì bệnh tật, ông đảm nhiệm vị trí hiện giờ. Trên thực tế, khi thư của Pascal đến, bản thân Fermat cũng đang phải đối phó với bệnh dịch. Thậm chí, người bạn Bernard Medon đã tuyên bố cáo phó cho ông. Khi Fermat không chết, Medon xấu hổ nhưng rất vui mừng rút lại thông báo, nhưng rõ ràng Fermat đã cận kề cái chết. Cuối cùng, mặc dù lớn hơn Pascal 22 tuổi, nhưng Fermat lại sống lâu hơn cộng sự mới của mình tới vài năm.

Như chúng ta sẽ thấy, bài toán các điểm xuất hiện trong bất cứ lĩnh vực đời sống nào có hai thực thể cạnh tranh. Theo những bức thư họ để lại thì Pascal và Fermat mỗi người tự xây dựng phương pháp của mình và giải một số dạng của bài toán. Tuy nhiên phương pháp của Pascal được chứng minh là đơn giản hơn – và hay hơn – và đương nhiên được áp dụng phổ biến cho nhiều bài toán mà ta gặp phải ngày nay. Vì bài toán các điểm lần đầu xuất hiện trong một tình huống cá cược. Tôi sẽ minh họa bài toán với ví dụ từ thế giới thể thao. Năm 1996 đội Atlanta Braves đánh bại đội New York Yankees trong hai trận đầu tiên của giải bóng chày thế giới, trong đó đội đầu tiên thắng 4 trận sẽ giành chức vô địch. Thực tế, Braves đã thắng 2 trận đầu không đồng nghĩa với việc họ có ưu thế hơn. Tuy nhiên, đó là dấu hiệu thể hiện họ đã thực sự chơi tốt hơn. Nhưng, đối với mục đích hiện tại, chúng ta sẽ bám lấy giả định rằng bất cứ đội nào cũng có khả năng thắng trong mỗi trận đấu và hai trận đầu tiên Braves đã giành chiến thắng.

Với giả định đó, tỷ lệ cược cho Yankees nên là bao nhiêu? – nghĩa là khả năng đội Yankee bứt phá? Để tính được điều này, chúng ta tính tất cả các khả năng mà Yankees có thể thắng và so sánh với số lượng các khả năng mà họ có thể thua. Hai trận đấu trong loạt trận đã diễn ra, do đó họ còn 5 trận chưa chơi. Và do mỗi trận có hai khả năng xảy ra – đội Yankees thắng (Y) hoặc Braves thắng (B) – ta có 25, tức 32, kết quả xảy ra. Ví dụ, đội Yankees có thể thắng 3 rồi thua 2: YYYBB; hoặc họ có thể thắng xen kẽ: YBYBY. (Trong trường hợp sau, do Braves sẽ thắng 4 trận trong trận thứ 6, nên trận cuối sẽ không diễn ra, nhưng chúng ta sẽ bàn đến trong phần sau). Xác suất đội Yankees giành lại chiến thắng trong loạt trận bằng tổng số các kết quả chuỗi trận đấu, 32, chia cho số lượng chuỗi trận đấu mà họ thắng ít nhất 4 trận; xác suất Braves thắng bằng 32 chia cho số chuỗi trận đấu mà họ thắng ít nhất 2 trận nữa.

Phép tính này có vẻ kỳ cục, bởi như tôi đã đề cập ở trên, nó bao gồm các kịch bản (VD: YBYBY) trong đó các đội vẫn cứ chơi cho dù Braves đã thắng đủ 4 trận như yêu cầu. Các đội sẽ chắc chắn không chơi trận thứ 7 một khi Braves đã thắng 4 trận. Nhưng toán học độc lập với ý thích của con người, và cho dù các đối thủ có chơi trận đấu hay không cũng không ảnh hưởng tới các chuỗi kết quả đã có. Ví dụ, giả sử bạn đang chơi tung đồng xu, bạn sẽ thắng nếu có bất cứ lần nào mặt ngửa xuất hiện. Có 22, tức 4, kết quả tung 2 đồng xu: ngửa sấp, ngửa ngửa, sấp ngửa và sấp sấp. Trong hai trường hợp đầu, bạn không cần phải tung đồng xu lần nữa bởi vì bạn đã chắc chắn thắng. Tuy vậy, khả năng thắng vẫn là 3/4 bởi vì 3 trong 4 trường hợp có đồng xu tung được là ngửa.

Do vậy, để tính khả năng thắng của Yankees và Braves, chúng ta chỉ đơn giản tính khả năng chuỗi 5 trận còn lại. Đầu tiên, Yankees sẽ có khả năng thắng nếu họ thắng 4 trong 5 trận còn lại. Điều này có thể xảy ra theo 5 cách: BYYY, YBYYY, YYBYY, YYYBY, hoặc YYYYB. Tương tự, Yankees có khả năng vô địch nếu họ thắng cả 5 trận còn lại, điều này chỉ xảy ra khi: YYYYY. Tới lượt Braves: họ sẽ trở thành vô địch nếu Yankees chỉ thắng 3 trận, điều này xảy ra theo 10 cách (BBYYY, BYBYY, v.v…) hoặc nếu Yankees chỉ thắng 2 trận (cũng xảy ra theo 10 cách), hoặc nếu Yankees chỉ thắng 1 trận (chỉ xảy ra theo 5 cách), hoặc họ không thắng trận nào (xảy ra theo 1 cách). Cộng các kết quả có thể xảy ra lại, ta nhận thấy xác suất Yankees thắng là 6/32, khoảng 19%, còn xác suất Braves thắng là 26/32, khoảng 81%. Theo Pascal và Fermat, nếu loạt trận bất ngờ kết thúc, đó là cách họ nên chia tiền thưởng. Tỷ số sẽ được thiết lập nếu đặt cược sau 2 trận đấu đầu tiên. Theo ghi chép, đội Yankees đã giành chiến thắng trong 4 trận tiếp theo và họ đạt chức vô địch.

Lời giải này có thể áp dụng từ đầu mùa giải – nghĩa là trước khi đấu bất cứ trận nào. Nếu hai đội có cơ hội chiến thắng như nhau trong mỗi trận đấu, thì bạn sẽ thấy xác suất họ thắng trong cả giải bằng nhau. Nhưng lý lẽ tương tự cũng đúng nếu như họ không có xác suất thắng bằng nhau, ngoại trừ phép tính đơn giản tôi vừa sử dụng sẽ phải chỉnh sửa một chút: mỗi kết quả sẽ chịu ảnh hưởng bởi một nhân tố biểu thị xác suất tương quan của nó. Nếu tính như vậy và phân tích tình huống ngay từ đầu mùa giải, bạn sẽ nhận ra rằng trong loạt 7 trận đấu, có khả năng lớn đội kém hơn sẽ giành chức vô địch. Ví dụ, nếu một đội chơi đủ tốt để đảm bảo đánh bại đội kia với tỷ lệ 55%, thì đội yếu hơn sẽ thắng loạt 7 trận với tỷ lệ khoảng 4/10. Và nếu đội mạnh hơn kỳ vọng đánh bại đối thủ, trung bình với tỷ lệ 2/3 lần gặp nhau, đội yếu hơn vẫn thắng loại 7 trận với tỷ lệ 1/5. Thực sự không có cách nào để thay đổi điều này trong các giải thể thao. Trong trường hợp xác suất không cân xứng 2/3, ví dụ, bạn sẽ phải chơi loạt trận gồm ít nhất 23 trận để xác định người thắng cuộc với cái gọi là tầm quan trọng thống kê, nghĩa là đội yếu hơn sẽ vô địch 5% hoặc ít hơn (xem chương 5). Và trong trường hợp một đội chỉ có lợi thế 55-45, giải thế giới nên gồm 269 trận, một nỗ lực mệt mỏi thực sự! Do vậy các giải quyết định chỉ vui vẻ và hào hứng, nhưng được trao cúp vô địch không phải là một chỉ báo tin cậy rằng đội đó thực sự giỏi nhất.

Như tôi đã nói, lời giải này cũng áp dụng cho nhiều trò chơi, trò cá cược, và thể thao. Ví dụ, nó chỉ ra nếu hai công ty hoặc hai nhân viên trong cùng một công ty cạnh tranh với nhau, mặc dù sẽ có người thắng và kẻ thua mỗi quý hoặc mỗi năm, để có được câu trả lời đáng tin cậy về việc công ty nào hay nhân viên nào giỏi hơn chỉ bằng cách kiểm lại xem ai thắng ai, thì bạn sẽ phải làm so sánh trong nhiều thập kỷ hoặc nhiều thế kỷ. Ví dụ, nếu nhân viên A thực sự giỏi hơn và sẽ thắng trong cuộc đua dài hơi về so sánh năng lực với nhân viên B với tỷ số 60/100, còn nếu so chỉ 5 cuộc tranh tài quan trọng nhất, nhân viên yếu hơn vẫn thắng với tỷ lệ 1/3. Thật nguy hiểm khi đánh giá khả năng bằng các kết quả ngắn hạn.

Ta có thể tính toán trong các bài toán này rất đơn giản mà không tốn nhiều công sức. Nhưng khi con số lớn hơn, phép tính trở nên khó hơn. Ví dụ, hãy xem bài toán sau: Bạn đang lên kế hoạch đón tiếp 100 khách cho đám cưới, và mỗi bàn có 10 chỗ. Bạn không thể xếp anh họ Rod với cô bạn Amy ngồi với nhau vì 8 năm trước họ đã yêu nhau và cô này đã đá anh kia. Mặc khác, cả Amy và Leticia đều muốn ngồi với ông anh Bobby da nâu, và cô Ruth nên được ngồi ở bàn ngoài tầm nghe nếu không những chuyện tán tỉnh tay đôi sẽ được buôn chuyện trong bữa tối kỳ nghỉ 5 năm sau. Bạn cần tính toán cẩn thận các xác suất. Hãy lấy bàn đầu tiên. Bao nhiêu cách để chọn 10 người từ nhóm 100 người? Đó là câu hỏi giống với câu: bạn có bao nhiêu cách để chọn ra 10 vụ đầu tư trong số 100 quỹ hỗ trợ hoặc 10 nguyên tử germani trong 100 vị trí trong một tinh thể silic? Đó là một dạng toán xuất hiện nhiều lần trong thuyết xác suất, và không chỉ trong bài toán về các điểm. Nhưng số lượng càng lớn thì việc tính toán các trường hợp bằng các liệt kê rõ ràng càng tẻ nhạt và bất khả thi. Pascal đã phát hiện ra một phương pháp: có hệ thống và có thể áp dụng rộng rãi giúp chúng ta tìm được đáp án bằng một công thức hoặc bằng cách tra bảng. Bảng này dựa trên sự sắp xếp tỉ mỉ các con số theo hình tam giác.

PHƯƠNG PHÁP ĐIỆN TOÁN –  trọng tâm trong nghiên cứu của Pascal thực sự được một nhà toán học người Trung Quốc tên Jia Xian phát hiện ra vào khoảng năm 1050, và được một nhà toán học người Trung Quốc khác, Zhu Shijie, công bố năm 1303, được nhắc đến trong một tác phẩm của Cardano vào năm 1570, và được phát triển thêm trong những lý thuyết xác suất của Pascal – người được công nhận phần lớn công sức. Nhưng nghiên cứu trước đây không làm khó Pascal. “Hãy để không ai nói rằng tôi không làm ra điều gì mới mẻ,” Pascal khẳng định trong cuốn tự truyện của mình. “Việc xắp xếp chủ đề thể hiện tính mới mẻ. Khi chơi tennis, chúng ta đều chơi với cùng một quả bóng, nhưng một trong hai người đặt bóng tốt hơn.” Pascal đã thể hiện sự sáng tạo bằng hình ảnh dưới đây, và nó được gọi là tam giác Pascal. Trong hình, tôi đã lược bỏ tam giác Pascal ở dòng thứ 10, nhưng tam giác này còn tiếp tục phát triển vô hạn về phía dưới. Thực tế, rất khó để tiếp tục tam giác, vì ngoài dòng 1 tại đỉnh, mỗi số là tổng của số ở dòng trên nó về bên trái và số ở dòng trên nó về bên phải (cộng số 0 nếu không có số ở dòng trên nó về bên trái hoặc bên phải).

Hàng

Tam giác Pascal

Tam giác Pascal hữu dụng bất cứ khi nào bạn cần biết số cách mà theo đó bạn có thể chọn được một số lượng đối tượng từ một tập hợp có số bằng hoặc lớn hơn. Và đây là cách sử dụng nó trong trường hợp khách mời đám cưới: để tìm ra số lượng cách xếp bàn 10 người từ 100 khách, bạn nên bắt đầu xem các số bên tay trái của tam giác, tìm đến hàng có số 100. Tam giác tôi đã cung cấp không kéo dài đến vậy, nhưng hãy cứ coi như là ta đã làm đến hàng 100. Số đầu tiên trong hàng 100 cho bạn biết số lượng cách bạn có thể chọn 0 khách từ 100 khách. Tất nhiên, chỉ có một cách: bạn không chọn ai cả. Đó là sự thật cho dù bạn có tổng số bao nhiêu khách đi nữa, và đó cũng là lý do tại sao con số đầu tiên trong mỗi dòng là 1. Số thứ hai trong dòng 100 cho bạn biết số lượng cách bạn có thể chọn 1 khách từ 100 khách. Có 100 cách: bạn có thể chọn khách 1, hoặc khách 2, v.v… Quy luật này áp dụng cho mọi hàng, và do vậy số thứ hai của mỗi hàng chính là số của hàng đó. Số thứ ba trong mỗi hàng thể hiện số lượng các cách chọn 2 người, và tương tự như vậy. Con số chúng ta đang tìm kiếm – số lượng các cách để chọn 10 người – sẽ là số thứ 11 trong hàng. Thậm chí nếu tôi mở rộng tam giác này tới 100 hàng, thì số lượng sẽ quá lớn để viết lên giấy. Trên thực tế, khi một số khách mời đám cưới phàn nàn về việc sắp xếp chỗ ngồi, bạn có thể chỉ ra bạn mất bao nhiêu lâu để tính toán mọi khả năng: giả sử bạn mất 1 giây để tính một trường hợp, thì cũng cần phải mất hơn 500 năm. Tất nhiên vị khách không vui đó sẽ cho rằng bạn đang đóng kịch.

Đến lượt chúng ta sử dụng tam giác Pascal, bây giờ hãy nói rằng danh sách khách mời của bạn chỉ gồm 10 khách. Khi đó dòng có liên quan là dòng cuối cùng trong tam giác mà tôi đã cung cấp, mang số 10. Những con số trong dòng đó thể hiện số cách xếp bàn gồm 0, 1, 2… người từ tập hợp 10 người. Bạn có thể nhận ra những con số này xuất hiện trong ví dụ về đố vui cho học sinh lớp sáu – số các cách mà một học sinh trả lời sai x câu trong số 10 câu hỏi đúng –  sai cũng giống như số các cách bạn có thể lựa chọn khách từ nhóm 10 người. Đó là một trong những lý do minh chứng cho sức mạnh của tam giác Pascal: thuật toán này có thể áp dụng trong nhiều tình huống khác nhau. Trường hợp của giải vô địch thế giới giữa Yankees và Braves là một ví dụ, chúng ta cứ tính toán tất cả các khả năng cho 5 trận đấu còn lại một cách buồn tẻ, nhưng giờ đây, chúng ta có thể đọc ra số các cách mà Yankees có thể thắng 0, 1, 2, 3, 4 hoặc 5 trận ngay từ hàng 5 của tam giác:

1   5    10   10   5    1

Chúng ta có thể tìm ra trong nháy mắt cơ hội thắng 2 trận của Yankees (10 cách) cao gấp 2 lần cơ hội thắng 1 trận.

Khi đã biết được phương pháp này, bạn sẽ thấy ứng dụng của tam giác Pascal xuất hiện ở mọi nơi. Một người bạn của tôi từng làm việc cho một công ty trò chơi trên máy tính mới thành lập. Mặc dù vị giám đốc marketing này thừa nhận rằng các nhóm nòng cốt nhỏ sẽ phù hợp với cách làm việc “chỉ những kết luận định tính”, thì cô ấy cũng thường phải suy nghĩ đến câu hỏi bằng cách nào. Đôi khi cô thông báo những quyết định “ưu thế” 4-2 hoặc 5-1 giữa các thành viên trong nhóm như thể điều đó có ý nghĩa. Giả sử bạn điều hành một nhóm các nhân viên nòng cốt trong đó 6 người sẽ kiểm tra và bình luận về dòng sản phẩm mới mà bạn đang triển khai. Giả sử trong thực tế sản phẩm này hấp dẫn một nửa dân số. Sự tham khảo này có tác động như thế nào tới nhóm nòng cốt của bạn? Bây giờ, hàng liên quan trong tam giác mang số 6, thể hiện số các nhóm số có thể xảy ra là 0, 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6, tức số thành viên có thể thích (hoặc không thích) sản phẩm này:

1    6    15    20    15    6    1

Từ những số này ta thấy có 20 cách để thành viên nhóm sẽ có ý kiến 50/50, phản ánh chính xác quan điểm của công chúng nói chung. Nhưng cũng có 1+6+15+15+6+1=44 cách trong đó bạn nhận được sự nhất trí không có tính đại diện, ủng hộ hoặc phản đối. Do vậy, nếu bạn không cẩn thận, khả năng bị sai lệch là 44/64, tức 2/3. Ví dụ này không chứng minh rằng nếu có sự nhất trí, thì đó là ngẫu nhiên. Nhưng bạn cũng không nên thừa nhận điều này quan trọng.

Phân tích của Pascal và Fermat là một bước tiến đầu tiên quan trọng trong lý thuyết chặt chẽ về tính ngẫu nhiên. Bức thư cuối cùng trong quá trình trao đổi nổi tiếng này diễn ra ngày 27 tháng 10 năm 1654. Vài tuần sau khi Pascal ngồi trong trạng thái xuất thần hai tiếng đồng hồ. Một số người gọi sự xuất thần đó là một trải nghiệm huyền bí. Một số khác rên rỉ rằng cuối cùng thì ông đã “thoát tục”. Tuy nhiên nằm ngoài những điều bạn mô tả về sự xuất thần đó, Pascal còn rất nổi tiếng là người đàn ông kiến tạo chuyển đổi. Đó là một sự chuyển đổi khiến ông đem lại một đóng góp nền tảng hơn cho quan điểm ngẫu nhiên.

Năm 1662, vài ngày sau khi Pascal mất, một người hầu chú ý tới một chỗ phồng kỳ lạ trong một chiếc áo khoác của Pascal. Người hầu tìm thấy trong lớp vải lót các tấm da dê và giấy. Pascal rõ ràng đã mang theo chúng mỗi ngày trong suốt 8 năm cuối đời. Ghi chép trên các tờ giấy được viết tay, có những chữ và cụm từ rời rạc đề ngày 23 tháng 11 năm 1654. Bản thảo này mô tả cảm xúc xuất thần, trong đó ông miêu tả Chúa đã đến với ông như thế nào và trong vòng hai giờ đã cứu rỗi ông khỏi những con đường sai trái.

Từ sự khải huyền trên, Pascal đã từ bỏ đa số bạn bè, gọi họ là “những phụ tùng xấu xa.” Ông bán xe, bán ngựa, bán đồ đạc và thư viện – mọi thứ ngoại trừ cuốn Kinh thánh. Ông mang tiền cho người nghèo và chỉ để lại cho mình số tiền ít ỏi đến mức ông thường phải đi xin hoặc vay đồ ăn. Ông đeo một thắt lưng sắt với những gai sắt bên trong khiến ông luôn thấy khó chịu và đẩy những gai thắt lưng cứa vào da thịt bất cứ khi nào ông cảm thấy mình hạnh phúc. Ông phản đối gay gắt những nghiên cứu về toán học và khoa học của mình. Khi nói về những đam mê hình học thời thơ ấu, ông viết, “tôi chắc chắn là không nhớ có thứ như hình học. Tôi nhận ra hình học thật là vô dụng… chắc chắn tôi sẽ không bao giờ nghĩ tới nó nữa.”

Tuy nhiên Pascal vẫn thể hiện khả năng phong phú của mình. Vài năm sau sự xuất thần đó, ông ghi lại những suy nghĩ của mình về Chúa, tôn giáo và cuộc đời. Những suy nghĩ này sau này được xuất bản trong một cuốn sách tựa Pensées, một tác phẩm vẫn được xuất bản ngày nay. Và mặc dù Pascal phản đối toán học, giữa ảo ảnh về sự phù phiếm của cuộc sống từng trải là sự bóc mẽ toán học, thể hiện trong cách ông mài sắc thứ vũ khí về xác suất toán học đâm thẳng vào vấn đề của thần học và đem lại những đóng góp quan trọng hệt như công trình trước của ông về bài toán các điểm.

Toán học trong Pensées chỉ gồm hai tờ bản thảo hai mặt viết lung tung và đầy những chỗ tẩy xóa và sửa chữa. Trong những trang này, Pascal đề cập và phân tích về sự ủng hộ và chống lại nghĩa vụ của con người đối với Chúa như thể ông đang tính toán trí khôn của một kẻ cá cược. Sự cách tân vĩ đại chính là phương pháp cân bằng giữa thuận và chống, một khái niệm ngày nay gọi là kỳ vọng toán học.

Luận điểm của Pascal có thể trình bày như sau: giả sử bạn thừa nhận rằng bạn không biết Chúa có thực sự tồn tại hay không và do đó ta có khả năng 50% cho bất cứ mệnh đề nào. Bạn tính tỷ lệ này như thế nào khi xác định sống cuộc đời ngoan đạo? Nếu bạn hành xử ngoan đạo và Chúa tồn tại, Pascal viết, cái lợi của bạn – hạnh phúc bề ngoài – là vô hạn. Nếu, ngược lại, Chúa không tồn tại, cái mất của bạn rất nhỏ – hy sinh sự mộ đạo. Để tính những cái được và mất có thể xảy ra, bạn nhân xác suất của mỗi kết quả có thể xảy ra với tỷ lệ của nó và cộng tất cả vào, ta có giá trị trung bình tức tỷ lệ kỳ vọng. Nói cách khác, kỳ vọng toán học về sự hướng đạo của bạn là 1/2 vô hạn (bạn thắng nếu Chúa tồn tại) trừ đi 1/2 số nhỏ (bạn thua nếu Chúa không tồn tại). Pascal hiểu biết đủ về vô hạn để biết rằng câu trả lời cho phép tính này là vô hạn, do đó kỳ vọng trở lại mộ đạo là dương vô hạn. Pascal kết luận, những người hiểu biết nên đi theo giáo lý của Chúa. Ngày nay luận điểm này nổi tiếng với tên gọi sự đặt cược của Pascal.

Kỳ vọng là một khái niệm quan trọng không chỉ trong cờ bạc mà còn trong tất cả tình huống ra quyết định. Thực tế, đặt cược của Pascal được coi là nền tảng cho quy tắc toán học của lý thuyết trò chơi, nghiên cứu định lượng về chiến lược ra quyết định tối ưu trong các trò chơi. Tôi phải thừa nhận rằng mình đã hoàn toàn bị thu hút bởi chúng nên đôi khi tôi đi quá xa. “Đỗ xe ở đây tốn bao nhiêu tiền?” tôi hỏi con trai mình. Biển hiệu ghi là 25 xu. Vâng, nhưng cứ mỗi 20 lần tới đây, tôi quay về muộn và thấy cái vé ghi tới 40 đô-la, do vậy 25 xu được ghi trên bảng thực sự chỉ là mồi nhử độc ác, bởi vì chi phí thực sự tôi phải trả là 2,25 đô-la (thêm 2 đô-la từ 1 lần trong mỗi 20 lần tôi có khả năng bị tính giá 40 đô-la) “Còn về đường lái xe vào nhà của chúng ta,” tôi hỏi con trai, “nó có bị thu phí không?” Chúng tôi đã sống tại căn nhà này khoảng 5 năm với khoảng 2.400 lần chạy lùi trên đường vào, và 3 lần tôi va gương vào hàng rào và tốn 400 đô-la một lần. “Bố cũng có thể lắp một cái hộp thu phí ở đó và bỏ vào 50 xu mỗi lần bố lùi xe”, con trai bảo tôi. Nó hiểu về sự kỳ vọng. (Cậu bé cũng khuyên tôi không nên đưa chúng tới trường trước khi dùng cà phê sáng.)

Quan sát thế giới qua lăng kính kỳ vọng toán học, người ta thường nhận ra những kết quả đáng kinh ngạc. Ví dụ, một chương trình rút thăm trúng thưởng gửi thư cho bạn thông báo về giải thưởng 5 triệu đô-la. Tất cả những gì bạn cần làm để thắng cuộc là gửi thư trả lời. Không giới hạn bạn sẽ dự bao nhiêu lần, nhưng mỗi thư tham dự phải được gửi riêng biệt. Các nhà tài trợ rõ ràng đang kỳ vọng có 200 triệu lượt đăng ký, bởi vì tờ in viết rằng cơ hội thắng cuộc là 1 trong 200 triệu. Có đáng để tham gia loại “cơ hội vơ cả miễn phí” này không? Nhân xác suất thắng với tỷ lệ, ta thấy rằng mỗi lần đăng ký đáng giá 1/40 của 1 đô-la, tức 2,5 xu – quá ít so với chi phí gửi thư. Thực tế, người thắng lớn trong cuộc thi này là bưu điện, bởi vì nếu các kế hoạch chính xác, sẽ đem lại doanh thu bưu phí gần 80 triệu đô-la từ tất cả các thư đăng ký.

Dưới đây là một trò chơi điên rồ khác. Giả sử chính quyền bang California đưa ra lời đề nghị như sau với công dân: trong tất cả những người trả 1 hoặc 2 đô-la để đăng ký, đa số sẽ không nhận được gì, chỉ duy nhất một người sẽ nhận một gia tài, và một người sẽ bị xử tử theo cách thức dã man nhất. Liệu có ai muốn tham gia trò chơi này? Hầu hết tất cả đều tham gia, và với sự hào hứng hết mình. Đó là trò chơi sổ xổ chính quyền. Mặc dù chính quyền bang không thông báo như cách tôi đã mô tả, nhưng đó là cách nó vận hành trong thực tế. Vì nếu như một người may mắn thắng giải thưởng lớn trong trò chơi, thì cũng có hàng triệu người chơi khác lái xe đến và đi từ quầy bán vé địa phương để mua vé, và một số chết vì tai nạn trên đường. Nhờ những thống kê từ Cục Quản lý An toàn Giao thông Quốc gia và phụ thuộc vào những giả định về khoảng cách mỗi người phải lái xe, anh ta/cô ta mua bao nhiêu vé và bao nhiêu người vướng phải một tai nạn thông thường, bạn sẽ nhận ra ước tính hợp lý của những bất hạnh đó là khoảng một người chết trong mỗi trò chơi.

Chính quyền bang có xu hướng lờ đi tranh luận về những tác động xấu có thể xảy ra của các trò xổ số. Bởi vì, phần lớn, họ đều hiểu biết về kỳ vọng toán học để tính toán cho mỗi chiếc vé bán ra, và những người chiến thắng được kỳ vọng – tổng số tiền giải thưởng chia cho số vé bán được – ít hơn giá của vé. Thông thường trò chơi sẽ tạo ra một khoản chênh lệch kha khá để chuyển vào kho bạc của bang. Tuy nhiên, năm 1992, một số nhà đầu tư ở Melbourne, Australia, nhận thấy rằng xổ số Virginia vi phạm quy tắc này. Trò quay thưởng sẽ chọn 6 số từ 1 đến 44. Tam giác Pascal sẽ giúp chúng ta nhận ra có 7.059.052 cách để chọn 6 số từ một nhóm gồm 44 số. Giải sổ xố là 27 triệu đô-la, và với giải 2, giải 3, và giải 4, tổng số tiền thưởng là 27.918.561 đô-la. Những nhà đầu tư thông minh lý giải, nếu với mỗi trường hợp của 7.059.052 cách họ mua một vé, thì giá trị của số vé này bằng với giá trị tổng giải thưởng. Từ đó mỗi vé trị giá bằng khoảng 27,9 triệu đô-la chia cho 7.059.052, tức là 3,95 đô-la. Với tất cả sự khôn ngoan, bang Virginia bán vé giá bao nhiêu? Giá 1 đô-la.

Các nhà đầu tư Australia nhanh chóng tìm kiếm 2.500 công ty đầu tư nhỏ ở Australia, New Zealand, Châu Âu, và Mỹ sẵn sàng đầu tư 3.000 đô-la vốn. Nếu kế hoạch thành công, lợi nhuận từ sự đầu tư đó là 10.800 đô-la. Nhưng có một số rủi ro trong kế hoạch. Thứ nhất, vì họ không phải là những người duy nhất mua vé, những đối thủ khác có thể cũng chọn chiếc vé chiến thắng, nghĩa là họ sẽ phải chia phần thưởng. Trong 170 lần giải xổ số được tổ chức, 120 lần không có người chiến thắng, 40 lần chỉ có duy nhất một người thắng, và 10 lần có 2 người chiến thắng. Nếu những tần xuất đó phản ánh chính xác lợi thế của họ, thì dữ liệu đó cho biết có 120/170 khả năng họ sẽ giành tất cả giải thưởng, 40/170 khả năng họ sẽ có 1/2 số tiền, và 10/170 khả năng họ sẽ chỉ thắng 1/3 số tiền. Tính toán lại số tiền cược kỳ vọng nhờ vào nguyên tắc của Pascal về kỳ vọng toán học, họ nhận thấy mình có (120/170 x 27,9 triệu đô-la) + (40/170 x 13,95 triệu đô-la) + (10/170 x 6,975 triệu đô-la) = 23,4 triệu đô-la. Đó là 3,31 đô-la một vé, số tiền lớn hoàn lại từ chi phí 1 đô-la.

Nhưng vẫn còn rủi ro khác: ác mộng kho vận về việc hoàn thành việc mua tất cả các vé trước hạn quay thưởng. Điều này có thể tiêu tốn phần lớn chi phí ngân sách mà không đạt được bất cứ phần thưởng lớn nào.

Thành viên của nhóm đầu tư lên kế hoạch chuẩn bị chu đáo. Họ điền 1,4 triệu phiếu bằng tay, theo luật, mỗi phiếu dùng cho 5 lần chơi. Họ bố trí các nhóm mua tại 125 quầy bán lẻ và có sự liên kết với các quầy tạp hóa để họ hưởng lợi từ mỗi vé bán ra. Sự chuẩn bị diễn ra trước hạn quay thưởng chỉ 72 giờ. Các nhân viên quầy tạp hóa làm việc theo ca để bán càng nhiều vé càng tốt. Một quầy đã bán 75.000 vé trong 48 giờ cuối cùng. Một cửa hàng chi nhánh chấp nhận séc ngân hàng đối với 2,4 triệu vé, phân công việc in vé giữa các cửa hàng và thuê người tập hợp chúng. Tuy nhiên, cuối cùng, nhóm cháy giờ: họ chỉ mua được 5 triệu trong số 7.059.052 vé.

Vài ngày sau chiếc vé chiến thắng được công bố, và không ai đến để xuất trình nó. Liên minh các nhà đầu tư đã thắng, nhưng các thành viên cũng mất khá lâu để tìm chiếc vé chiến thắng. Và, khi nhân viên sổ xố bang nhận ra việc liên minh đã làm, họ lẩn tránh chi trả. Mất một tháng kiện tụng trước khi công ty xổ số kết luận họ không có lý do hợp lý để từ chối trao thưởng. Cuối cùng họ phải trả tiền thưởng.

Đối với nghiên cứu về xác suất, Pascal cống hiến cả tư tưởng về phép tính lẫn khái niệm kỳ vọng toán học. Ai mà biết ông sẽ phát hiện ra điều gì nữa nếu như sức khỏe phục hồi, cho dù ông đã quay lưng lại với toán học. Tháng 7 năm 1662, Pascal ốm nặng. Các thầy thuốc kê đơn như thường lệ: họ chích máu và sử dụng phương pháp bơm thụt ruột, tẩy ruột và gây nôn khủng khiếp. Ông khá hơn trong một thời gian và tái bệnh, kèm theo chứng đau đầu, chóng mặt và chứng co giật nghiêm trọng. Pascal thề rằng nếu ông qua được, ông sẽ dành cả cuộc đời để giúp đỡ người nghèo và yêu cầu được chuyển tới bệnh viện dành cho người mắc bệnh nan y để chết trong sự có mặt của những người đồng cảnh ngộ. Ông mất vài ngày sau đó, vào tháng 8 năm 1662, thọ 39 tuổi. Khám nghiệm tử thi phát hiện ra nguyên nhân cái chết là do xuất huyết máu não, nhưng gan, dạ dày và ruột cũng bị tổn thương. Ông đã phải chịu đựng và sống cùng bệnh tật trong suốt cuộc đời.