(Ta-nhi-a gửi Số Không)

Số Không ơi, tin giờ chót của bọn mình đây.

Trên đường đi đến nơi biểu diễn, chốc chốc lại thấy nhấp nháy biển quảng cáo:

ĐU QUAY ẢO ĐẦU TIÊN TRÊN THẾ GIỚI! DÀNH RIÊNG CHO CHO CÁC ĐƠN VỊ ẢO!

NƠI DUY NHẤT, Ở ĐÓ CÁC ĐƠN VỊ ẢO CÓ THỂ THỞ THÀNH ĐƠN VỊ THỰC!

HỠI CÁC BẠN ĐƠN VỊ ẢO, CÁC BẠN HÃY CHƠI ĐU QUAY THẬT HĂNG!

Cô bạn dễ thương của bọn mình cứ líu lo không lúc nào yên, cô bé kể cho bọn mình nghe một lô những chuyện lí thú.

Thì ra, Đơn vị Ảo chẳng qua là căn bậc hai của âm một:

• Chẳng lẽ lại không khai căn của âm một được sao? – Xê-va thắc mắc. – Căn bậc hai của một bao giờ chẳng bằng một.
• Chết, chết! – Đơn vị ảo hoảng hốt. – Đây chỉ là trường hợp số một dương thôi. Bạn thử nói cho tôi rõ, khai căn bậc hai của chín chẳng hạn nghĩa là thế nào?
• Là tìm một số mà khi nâng lên bình phương thì sẽ được chín.

• Ô-lếch trả lời. – Số ấy là
  • Đúng. Vậy bây giờ các bạn thử tìm một số mà khi nâng lên bình phương thì được âm một đi nào!

Đơn vị ảo mỉm cười tế nhị. Xê-va vò đầu nghĩ rồi nói:

• Hừm! Chẳng có số nào như thế cả. Bất kì số nào, dù âm hay dương khi nâng lên bình phương cũng đều được đáp số là dương.

Điều đó mình biết tỏng rồi!

• Các bạn thấy đấy. Cho nên người ta mới gọi căn bậc hai của âm một là đơn vị ảo mà lị.
• Thành ra đơn vị ảo là những số hoàn toàn đặc biệt. Hẳn là con đường của các bạn cũng phải được xây dựng đặc biệt lắm.
• Chẳng đặc biệt chút nào. Con đường của chúng tôi rất giống con đường của các số thực, chỉ khác là nó vuông góc với con đường kia mà thôi. Nó cũng là một đường thẳng vô tận, ở giữa vẫn là Ga Số Không ta đã biết.
• Nếu các bạn có Ga Số Không thì chắc hẳn các bạn cũng có số dương và số âm chứ?
• Rõ thật là! Lẽ nào các số ảo cũng có số âm và số dương hay sao? Trên con đường của chúng tôi chỉ đơn giản là cũng có hai chiều về bên này và bên kia số không, giống như trên con đường của các số thực. Một chiều kí hiệu bằng dấu dương, một chiều kí hiệu bằng dấu âm.
• Thế nhưng phân biệt số ảo với số thực bằng cách nào?
• Phân biệt bằng chữ i: 2i, 5i, -8i, -12i
• À ra thế! Các bạn cũng có hệ số giống như các chữ khác ở An- giép ư?
• Dĩ nhiên là có.
• Thế hệ số của bạn đâu? – Xê-va buột miệng hỏi.

Không biết đến bao giờ cậu ấy mới biết phép xã giao? Cũng may mà cô bé Đơn vị ảo lịch thiệp làm ra bộ không chú ý đến thái độ sỗ sàng ấy của Xê-va.

• Hệ số của tôi là một. Xưa nay nó vẫn vô hình.

Nhưng Xê-va vẫn chưa chịu thôi. Gớm, sao lại có đứa hăng tranh luận thế cơ chứ!

• Bạn vừa bảo con đường ảo cũng giống con đường thực. Tức là các qui tắc vận hành trên đó cũng giống như các qui tắc trên con đường thực. Có phải thế không? Nếu vậy thì đu quay ở đây để làm gì mới được? Bởi vì trên con đường một ray chỉ có chạy thẳng, mà đu quay thì là quay cơ?
• Bạn nói chỉ đúng một phần thôi, – Đơn vị Ảo đáp – Qui tắc vận hành của chúng tôi đa dạng hơn. Khi cộng và trừ thì các toa goòng cùng chạy trên đường ảo theo đường thẳng theo qui tắc giống như số thực:

2i + 3i = 5i 8i – 15i = -7i hoặc:

-3i + 9i = 6i hoặc:

5i – 5i = 0

Các đơn vị ảo có hệ số như nhau và khác dấu nhau cũng triệt tiêu lẫn nhau ở Ga Số Không.

Nhưng nhân, chia, nâng lên lũy thừa thì khác hẳn. Lúc này các Đơn vị Ảo chẳng những chuyển động theo đường thẳng mà còn chuyển động theo đường cong. Rồi các bạn sẽ được xem ngay thôi.

Bọn mình bước vào một tòa nhà tròn, chật ních những Đơn vị Ảo. Bọn họ, người nào cũng nóng lòng chờ đến lượt vào chơi đu quay.

Tòa nhà rất giống một rạp xiếc. Xung quanh là chỗ ngồi thành bậc cao dần lên. Ở giữa là sân khấu có hai thanh xà cắt nhau thành góc vuông. Một xà biểu thị đường một ray của các số thực. Hai đầu xà đề biển +1 và -1. Thanh xà kia biểu thị đường các số ảo. Hai đầu thanh xà này đề biển +i và -i. Ở chỗ hai đường giao nhau nằm tại trung tâm sân khấu là Ga Số Không. Trục quay cắm ở đúng chỗ ấy, và trên trục đặt một cái bàn tròn bằng nhựa trong suốt trông hệt như một cái đĩa hát vậy.

Lúc bọn mình vào, đu quay vừa mới dừng lại. Một Đơn vị Ảo che dù xanh nhảy xuống. Một Đơn vị Ảo che dù vàng nhảy tới lên thay, đứng đối diện với cái biển +i.

Cô bạn của bọn mình lại gần mi-crô và ra lệnh:

• Chuẩn bị nâng lên lũy thừa!

Một hồi chuông reo vang, và đĩa tròn bắt đầu quay theo tiếng nhạc van-xơ êm êm. Đĩa quay ngược chiều kim đồng hồ chứ không theo chiều kim đồng hồ và bắt đầu xảy ra những chuyện lạ thường!

Đơn vị Ảo che dù vàng quay đến chỗ đề biển -1 liền biến thành một số thực là số âm một. Khi quay ngang qua chỗ đề biển -i lại biến thành – Đơn vị Ảo, nhưng bây giờ mang dấu âm. Đến khi quay đến chỗ đề biển +1 thì lạ chưa kìa! – nó lại từ Đơn vị Ảo biến thành đơn vị thực với dấu dương. Rồi khi quay trở về chỗ cũ, nơi đề biển +i, thì lại trở thành Đơn vị Ảo.

Dàn nhạc dạo bài “Thủy chung như nhất” và mọi chuyện lại xảy ra y như lúc bắt đầu. Đu quay cứ quay đều và Đơn vị Ảo cứ biến hóa luôn luôn.

Xê-va nói:

• Mình chẳng hiểu đầu cua tai nheo ra sao cả. Ảo biến thành thực rồi thực lại biến thành ảo… Thế là thế nào?
• Phép nâng lên lũy thừa đấy, các bạn ạ. – Đơn vị Ảo trả lời. – Chẳng là Đơn vị Ảo bằng căn bậc hai của âm một mà: . Nhưng nếu nâng căn bậc hai lên bình phương thì ta được gì nào?
• Được số ở dưới dấu căn, – Ô-lếch đáp.

• Cách đây ít lâu, bọn tôi cũng đã có dịp thấy chuyện này rồi! – Xê-va sực nhớ ra. – Có một anh chàng tí hon cứ đứng hàng giờ loay hoay nâng lên bình phương hết căn bậc hai của ba lại đến căn bậc hai của .. Lần nào anh ta cũng được con số nằm dưới căn.
• Với Đơn vị Ảo cũng thế đấy:

• Ừ, cái đó thì hiểu được. Nhưng một số thực như âm một lại biến thành số ảo thì thế nào?
• Đấy là Đơn vị Ảo nâng lên lập phương, tức là lũy thừa bậc ba:

i3 = i2.i

Mà như thế có khác gì nhân âm một với i đâu

-1.i = -i

• Thành ra cũng dễ hiểu tại sao Đơn vị Ảo mang dấu âm -i lại biến thành đơn vị thực mang dấu dương +1: – Ô-lếch nhận xét. – Đấy là nó được nâng lên lũy thừa bậc bốn:

i2.i2 = i4

Mà cái đó cũng có thể viết là:

-1.-1 = +1

• Ừ nhỉ, tại sao như thế nhỉ? Ngay Ô-lếch cũng không nghĩ ra.Giỏi lắm! – Đơn vị Ảo khen. – Nhưng còn phải tìm hiểu xem tại sao sau đó đơn vị thực lại trở thành Đơn vị Ảo.

Hay là, muốn thế phải nâng Đơn vị Ảo lên lũy thừa bậc năm.

• Không thể như thế được! i5 bằng i sao được? – Bọn mình đâm ra hoang mang bối rối. – Thế là thế nào nhỉ?
• Có gì lạ đâu: i4 = Muốn có i5, ta chỉ việc nhân một với i. Mà một lần i là i chứ còn gì nữa:

1.i = i

• Nếu thế chẳng hóa ra không thể nâng Đơn vị Ảo lên lũy thừa bậc quá bốn được hay sao? – Ô-lếch ngạc nhiên hỏi.
• Sao lại không! – Đơn vì Ảo phản đối. – Nâng lớn lũy thừa bậc mấy cũng được cả, cứ việc tha hồ: bậc sáu, bậc bảy,… bậc một trăm hai mươi mốt… Tóm lại, bất cứ bậc nguyên nào cũng được cả. Nhưng đáp số thì vẫn chỉ quanh quẩn mấy con số lúc nãy mà thôi. Thế mới là đu quay chứ!

Xê-va nôn nóng muốn biết ngay i17 bằng bao nhiên, Đơn vị Ảo nói:

• Chẳng có gì khó khăn hết, i lũy thừa năm bằng Vậy thì i lũy thừa chín cũng bằng i…
• Mình hiểu rồi! – Xê-va vội cắt lời. – Mỗi lần tăng số mũ thêm bốn thì ta lại được i: i13, i17 cũng đều bằng

Số Không ạ, thế là cậu có một bài toán rất hay để ra cho học sinh làm rồi đấy. Cậu thử tính xem i24 bằng bao nhiêu nhé. Muốn giải được dễ dàng, cậu cứ nhìn vào hình vẽ cái đu quay ảo ấy.

Bọn mình mê trò biến hóa các Đơn vị Ảo này quá; cứ đứng xem mãi. Đến lúc đã định đi, Xê-va lại vỗ vỗ vào trán rồi nói:

• Suýt nữa mình quên không hỏi! Ban nãy bạn nói rằng khi nâng lên lũy thừa thì các Đơn vị Ảo chuyển động theo đường cong. Nhưng ở đây nó lại chuyển động theo đường tròn.
• Đường tròn cũng là một đường cong, nhưng đường cong này có tất cả các điểm cách đều tâm điểm. Khi nhân hay nâng lên lũy thừa thì chỉ Đơn vị Ảo mới chuyển động theo đường tròn thôi.
• Thế các số ảo khác như hai i, ba i, bốn .. Chuyển động ra sao khi nâng lên lũy thừa? – Ô-lếch hỏi.
• Trên đu quay của chúng tôi không thấy được điều đó, – Đơn vị Ảo nói. – Nhưng thà như thế lại hơn. Không thể ngay một lúc biết hết mọi thứ được đâu.
• “Rau quả có vụ” chứ, phải thế không? – Xê-va nháy nháy mắt.
• Đúng thế, – Đơn vị Ảo tủm tỉm cười.

Bọn mình cảm ơn cô bé và chào từ biệt. Nhưng lại đến lượt Ô- lếch vỗ trán.

• Xin lỗi, – Ô-lếch ngoảnh lại hỏi. – Bạn làm ơn cho biết, số ảo dùng để làm gì?
• Bạn sẽ hiểu điều đó khi nào bạn giải đến các phương trình bậc hai và bậc Nhiều khi thu được đáp số là số ảo.
• Nhưng những phương trình có đáp số ảo thì có… ích gì cơ chứ? – Xê-va làu bàu nói.
• Bạn đi mà hỏi các nhà vật lí, nhà hóa học, các kỹ sư, các nhà thiên văn ấy. Số ảo giúp họ giải được những bài toán không ảo chút nào mà lại là những bài toán quan trọng thật sự trong thực tế.
• Thế tại sao người ta lại gọi các bạn là ảo?
• Thói quen đấy thôi, – cô bé chữ i rầu rầu đáp. – Tên của chúng tôi do nhà hác học Pháp Rơ-ne Đề-các đặt Hồi ấy còn là thế kỉ thử 17, chẳng ai coi số ảo ra gì cả. Nhưng từ đó đến nay đã có nhiều đổi thay.
• Nếu Đề-các sống vào thời nay thì nhất định ông đã đặt cho chúng tôi một cái tên thích đáng hơn rồi.
• Ví dụ như đặt tên là “số cần thiết” chẳng hạn, – Ô-lếch vội nói.
• Ồ! Thế thì tuyệt! – Đơn vị Ảo phấn khởi hẳn lên.

Bọn mình lại chào tạm biệt cô bé một lần nữa. Lần này thì chia tay thật sự.

Ta-nhi-a